Figure sans paroles #5.6.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.15

    le 24 de junio à 11:17, par Sidonie

    A la suite de votre dernier commentaire du 5.6.14 j’ai cherché à trouver un rapprochement entre les deux points. Sans y parvenir j’ai quelques découvertes qui peuvent s’en rapprocher. J’aurai besoin de 2 figures. La première montre que le parallélogramme s’obtient sans avoir de cocyclité.
    Deux cercles de centres O et P se coupent en A et B. M est le milieu de [OP]. Dans le cercle de centre M passant par A et B , C est diamétralement opposé à A. D est un point du cercle de centre O. E est l’intersection entre (DA) et le cercle de centre P. N est le milieu de [DE]. Le cercle OBP recoupe les cercles de centres O et P en F et G.
    Les diagonales ayant le même milieu M, AOCP est un parallélogramme. Donc (CP,CO) = (AO,AP) = (BP,BO) par symétrie autour de (OP) et alors C est sur le cercle OBP.
    Depuis le 5.6.7 on sait que le milieu de [DE] est sur un cercle passant par A et B et dont le centre est le milieu des 2 centres donc N appartient au cercle de centre M. Comme (AC) est un diamètre (CN) est la médiatrice de [DE]. Si on prend un autre point H sur ABD il donnera I sur ABE et la médiatrice de [HI] passera par C qui donne le parallélogramme.
    Une autre curiosité : l’alignement A,F,P et A,G,O.
    Dans le cercle de centre O (FB,FA) = $\frac 1 2$(OB,OA) = (OB,OP) = ( FB,FP) dans le cercle de centre M donc (FA)//(FP) d’où l’alignement A,F,P (idem pour A,G,O).
    On a aussi (AB) et (BC) perpendiculaires.

    Document joint : fsp_5.6.15_generalisation_1.jpg
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