Figure sans paroles #5.6.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.15

    le 24 de junio à 11:19, par Sidonie

    Mise en place de la figure du message précédent dans un quadrilatère complet quelconque.
    On considère le quadrilatère AEDF complété par B et C. Les cercles de centres G et H passent par A,B,E et C,D,E. I est le milieu de [GH] et O est l’intersection des médiatrices de [AC] et [BD].
    A l’aide du résultat précédent on a tout de suite EGOH parallélogramme et (OM) et (EM) perpendiculaires.
    Si A,B,C et D deviennent cocycliques, O devient le centre et on retrouve une figure précédente.
    Les médiatrices de [AF] et [DE] d’une part et de [AE] et [DF] d’autre part se coupent aussi sur le cercle de Miquel (assez facile à démontrer) donc le centre d’un éventuel cercle passant par A,E,D et F est aussi sur le cercle de Miquel.
    Une curiosité : les parallèles à (AB) et (AC) passant par G et H définissent un nouveau quadrilatère complet en vert sur la figure avec les intersections K,L,N,P avec les cercles.
    Par parallélisme on a (JG,JH) = (FA,FC)
    Le cercle passant par F,A,C passe aussi par M donc (FA,FC) = (MA,MC)
    (AC) passe par E point d’intersection des cercles de centre G et H donc (MA,MC) = (MG,MH)
    D’où J est aussi sur le cercle de Miquel.
    Comme (AB)//(KL) et (CD)//(NP) on a (EK,EA)=(EB,EL) et (ED,EN)=(EP,EC)
    Donc (EK,EA)=$\frac 1 2$[(EK,EL)-(EA,EB)] et (EP,EC)=$\frac 1 2$[(EP,EN)-(EC,ED)]
    Or (EA,EB)=(EC,ED) et (EK,EL)=(EP,EN)=$\frac {\pi} {2}$ donc (EK,EA)=(EP,EC) et K,E,P sont alignés.
    E est donc le sixième sommet du quadrilatère vert qui a donc les mêmes points E,G,H,I,M,O que le noir.

    Document joint : fsp_5.6.15_generalisation_2.jpg
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