Figure sans paroles #5.7.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 5.7.2

    le 27 de julio à 18:40, par Hébu

    Un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $AC$ et $BD$ se croisent à angle droit en un point $E$. Depuis $F$ et $G$ milieux de $AB$ et $BC$ on mène une perpendiculaire aux côtés opposés: $FI$ sur $CD$ et $GJ$ sur $AD$.

    $FI$ et $GJ$ se croisent au point $H$. $B, H, D$ sont alignés.

    .
    Il va falloir tracer plusuieurs cercles.

    Je note $P, Q$ les milieux des côtés $AD$ et $DC$. On sait que $FPQG$ est un parallélogramme. Ici c’est un rectangle ($FG$, $PQ$ parallèles à $AC$, $FP, GQ$ parallèles à $BD$, $AC - BD$ perpendiculaires) donc inscriptible.

    Le centre de ce premier cercle est l’intersection de $FQ$ et $GP$, et donc $I, J$ se trouvent sur sa circonférence. On en déduit la puissance de $H$: $HF\times HI=HG \times HJ$ (1).

    Celle de $D$: $DJ\times DP=DI\times DQ$ (2)

    .
    Un second cercle de diamètre $AG$, passe par $J$. Il coupe $BC$ en un point $L$, projeté orthogonal de $A$ sur $BC$. Le projeté orthogonal de $F$ sur $BC$, point $F'$, est le milieu de $BL$ (puisque $F$ est milieu de $AB$).

    La puissance de $B$ par rapport à ce cercle s’écrit $BL\times BG$ (3).

    .
    Un troisième cercle, diamètre $CF$, passe par $I$ et $F'$.
    La puissance de $B$ par rapport à ce cercle s’écrit $BF'\times BG$. Mais puisque $F'$ est milieu de $BL$ et $G$ milieu de $BC$, alors $BF' \times BC= BL \times BG$, et rapprochant de (3), on voit que $B$ a même puissance par rapport aux deux cercles, il est sur leur axe radical.

    Maintenant, la relation (2), doublée donne $DJ\times DA=DI\times DC$ (puisque $Q$ et $P$ sont les milieux): $D$ est lui aussi sur l’axe radical.

    Et la relation (1) montre que $H$ est également sur l’axe radical.

    .
    Ca semble bien tortueux. On doit pouvoir faire plus simple ?
    .

    Document joint : idm-5-7-2.jpg
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    • 5.7.2

      le 29 de julio à 15:02, par Sidonie

      Il existe en effet une preuve plus directe qui va faire baisser la proportion de calcul de puissances.
      Le cercle circonscrit au rectangle FGQP recoupe les côtés de ABCD en points qui sont les projections orthogonales des milieux sur les côtés opposés.
      H est le point d’intersection entre (FI) et (GI). Reste à prouver l’alignement B,D et H.
      Le cercle de diamètre [DH] passe par I et J et j’ajoute le cercle DPQ bien qu’il soit inutile pour obtenir avec I,J,P,Q et D une partie de la figure 5.6.18 où il est prouvé que le diamètre [DH] est perpendiculaire à [PQ], lui-même parallèle à (AC) puisque droite des milieux de ACD.
      (DH) est donc perpendiculaire à (AC) de même que (DB) et en géométrie euclidienne il ne passe par D qu’une seule perpendiculaire à (AC) donc B,D et H sont alignés.
      A noter que dans la figure précédente on peut encore se passer des puissances bien que je ne l’ai pas démontré. Si on utilise Géogébra avec la palanquée de parallèles générée par les cercles mais sans les cercles on obtient encore l’alignement des 3 points.

      Document joint : fsp_5.7.2.jpg
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  • 5.7.2

    le 29 de julio à 18:05, par Hébu

    Effectivement, ça semble plus court ! Décidément ma candidature au titre d’auteur de la preuve la plus tordue est en bonne position...

    Ceci étant, il faut que je creuse un peu. J’ai du mal à voir la connexion avec le 5.6.18. Je regarde.

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    • 5.7.2

      le 29 de julio à 20:56, par Sidonie

      En fait, il question aussi du 1.10. Je fais copier collé en me citant moi même. Quel manque de modestie !
      Avec le 1.10 on sait que (EI) ⊥ (CD) mais comme nul n’a posté de démonstration j’en donne une à base d’angle orienté de droites qui prouve aussi que (EJ) ⊥ (AB)
      (KC,KE) = (CK,CE) + (EC,EK) = (AE,AB) + (AB,AG) =(AE,AG) = π/2

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