Figure sans paroles #5.7.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.7.2

    le 27 juillet à 18:40, par Hébu

    Un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $AC$ et $BD$ se croisent à angle droit en un point $E$. Depuis $F$ et $G$ milieux de $AB$ et $BC$ on mène une perpendiculaire aux côtés opposés : $FI$ sur $CD$ et $GJ$ sur $AD$.

    $FI$ et $GJ$ se croisent au point $H$. $B, H, D$ sont alignés.

    .
    Il va falloir tracer plusuieurs cercles.

    Je note $P, Q$ les milieux des côtés $AD$ et $DC$. On sait que $FPQG$ est un parallélogramme. Ici c’est un rectangle ($FG$, $PQ$ parallèles à $AC$, $FP, GQ$ parallèles à $BD$, $AC - BD$ perpendiculaires) donc inscriptible.

    Le centre de ce premier cercle est l’intersection de $FQ$ et $GP$, et donc $I, J$ se trouvent sur sa circonférence. On en déduit la puissance de $H$ : $HF\times HI=HG \times HJ$ (1).

    Celle de $D$ : $DJ\times DP=DI\times DQ$ (2)

    .
    Un second cercle de diamètre $AG$, passe par $J$. Il coupe $BC$ en un point $L$, projeté orthogonal de $A$ sur $BC$. Le projeté orthogonal de $F$ sur $BC$, point $F'$, est le milieu de $BL$ (puisque $F$ est milieu de $AB$).

    La puissance de $B$ par rapport à ce cercle s’écrit $BL\times BG$ (3).

    .
    Un troisième cercle, diamètre $CF$, passe par $I$ et $F'$.
    La puissance de $B$ par rapport à ce cercle s’écrit $BF'\times BG$. Mais puisque $F'$ est milieu de $BL$ et $G$ milieu de $BC$, alors $BF' \times BC= BL \times BG$, et rapprochant de (3), on voit que $B$ a même puissance par rapport aux deux cercles, il est sur leur axe radical.

    Maintenant, la relation (2), doublée donne $DJ\times DA=DI\times DC$ (puisque $Q$ et $P$ sont les milieux) : $D$ est lui aussi sur l’axe radical.

    Et la relation (1) montre que $H$ est également sur l’axe radical.

    .
    Ca semble bien tortueux. On doit pouvoir faire plus simple ?
    .

    Document joint : idm-5-7-2.jpg
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