Figure sans paroles #5.7.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.7.3

    le 4 août à 11:20, par Hébu

    Un quadrilatère $ABCD$ inscrit dans un cercle, et tel que ses diagonales $AC$ et $BD$ sont orthogonales. On note $F$ le milieu du côté $AD$. La droite $(FE)$ coupe $BC$ en un point $G$.

    $(FE)$ et $(BC)$ sont orthogonales.

    .
    Puisque l’angle en $G$ est droit, $EAD$ est un triangle rectangle, $F$, milieu de l’hypothénuse, vérifie $FA=FD=FE$, de sorte que $FDE$ est isocèle.

    On a les égalités d’angles : $\widehat{FDE}=\widehat{FED}=\widehat{BEG}$.

    D’autre part, $\widehat{FDE}=\widehat{ACB}$ (angles inscrits) et $\widehat{EBC}=\pi/2-\widehat{ACB}$ ($EBC$ triangle rectangle).

    On en déduit $\widehat{EBG}+\widehat{BEG}=\pi/2$, autrement dit $\widehat{EGB}=\pi/2$.

    Document joint : idm5-7-3.jpg
    Répondre à ce message
    • 5.7.3

      le 7 août à 11:45, par Sidonie

      Vous avez la démonstration la plus naturelle mais on peut utiliser le 1.10 démontré avec les angles orientés pour obtenir plus court.

      A et D sont sur les côtés (EC) et (EB) du triangle EBC. A,B,C et D sont cocycliques donc le centre du cercle EAD, c’est à dire F, appartient à la hauteur de EBC issue de E.

      Répondre à ce message
      • 5.7.3

        le 7 août à 13:07, par Hébu

        Ah oui, très jolie utilisation de ce résultat (le « théorème » du 1.10) ! Qui est finalement indispensable.

        Effectivement, la preuve est très courte. Moi qui étais fier de ma démonstration pus courte qu’à l’habitude...

        Répondre à ce message
        • 5.7.3

          le 7 août à 13:23, par Sidonie

          Rassurez-vous, je suis passée par bien d’autres idées avant d’arriver à celle-ci. L’une est assez surprenante.

          Par le sommet d’un triangle une hauteur est symétrique par rapport à la bissectrice au diamètre du cercle circonscrit passant par ce sommet. Dans un triangle rectangle ce diamètre est aussi la médiane et la hauteur devient donc une symédiane.

          Une propriété de la symédiane passant par un sommet, démontrée avec un argument proche de votre démonstration, est que toute droite parallèle à la tangente au cercle circonscrit au sommet coupe les deux côtés en deux points dont le milieu appartient à la symédiane.

          Appliquée au triangle rectangle on obtient une autre démonstration.

          Répondre à ce message
  • 5.7.3

    le 7 août à 17:22, par Hébu

    Ah, encore une belle preuve. Je l’aime beaucoup — si on connait le résultat sur la symédiane, il permet cet argument très court.

    Je vais donc tâcher d’ajouter les symédianes à ma boite à outils.

    Répondre à ce message
    • 5.7.3

      le 7 août à 21:52, par Sidonie

      Faites un petit tour à la série 4.4.i, vous trouverez pas mal de figures avec la symédiane.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques