Figure sans paroles #6.1.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.1.1

    le 31 août à 09:48, par Sidonie

    A est un point d’un cercle de centre O. M est un point du rayon [OA]. D’un point P du cercle de centre M passant par A, naturellement tangent au cercle de centre O, on trace une tangente qui recoupe le grand cercle en B et C. (AP) recoupe le grand cercle en F.
    Il s’agit de prouver que les arcs BF et CF sont égaux, c’est-à-dire que (OF) est la médiatrice de [BC]
    D et E sont les intersections du cercle de centre M avec (AB) et (AC).
    Soit h l’homothétie de centre A qui transforme M en O. Elle transforme le petit cercle en grand cercle.
    On a donc h(D) = B et h(E) = C et donc (BC)//(DE).
    (BC) étant tangente en P on a (BC) $\bot$ (MP) qui étant un diamètre est la médiatrice de [DE]
    h(M) = O, h(P) = F donc (OF) est la médiatrice de [BC]

    Document joint : fsp_5.7.7.jpg
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  • 6.1.1

    le 31 août à 12:15, par Hébu

    Oui, joli. Et quelle rapidité !

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    • 6.1.1

      le 31 août à 16:21, par Sidonie

      Rien de bien merveilleux, vous connaissez mon goût pour les transformations ponctuelles : 2 cercles, surtout tangents , font penser à l’homothétie et, pour une fois, ça va jusqu’au bout. Je suppose que le théorème de Thalès et sa réciproque font aussi bien le boulot.

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      • 6.1.1

        le 1er septembre à 14:33, par Hébu

        Effectivement, on peut mener le raisonnement suivant :

        .

        Puisque F est le milieu de l’arc BC, OF est médiatrice du segment BC, et donc OF et BC sont perpendiculaires, et OF // MP.

        Les triangles MAP et OAF sont isocèles, leurs angles au sommet sont égaux, donc leurs angles de base également, et OFA=OAF=MAP=MPA : les droites (AP) et (AF) sont confondues

        .

        Si on réfléchit, le recours aux triangles isocèles ressemble à l’homothétie, il me semble. L’homothétie donne une formulation plus « générale », qui peut éviter de se perdre dans le détail de la configuration.

        .

        Par exemple, on peut tenter d’énoncer chacune des preuves sans donner de noms aux objets (exercice idiot, mais qui met en avance le caractère plus général des homothétie).

        Personnellement, j’ai du mal avec ces notions d’homothétie (et de rotation) — du mal à les mettre en oeuvre effectivement. Cela traduit simplement mes lacunes...

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        • 6.1.1

          le 1er septembre à 14:40, par Hébu

          Rq : j’ai pris la figure dans l’autre sens : F donné sur la médiatrice, on montre l’alignement. C’est équivalent à se donner les points alignés et à montrer que F est la médiatrice.

          Mais peut-être chaque approche conduit à prendre le problème dans un sens différent ?

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          • 6.1.1

            le 2 septembre à 09:49, par Sidonie

            Vous avez raison, les pointillés indiquent que j’ai pris le problème dans l’autre sens, ce qui n’est pas un grosse difficulté : le raisonnement reste pratiquement identique .
            A est un point d’un cercle de centre O. M est un point du rayon [OA]. D’un point P du cercle de centre M passant par A, naturellement tangent au cercle de centre O, on trace une tangente qui recoupe le grand cercle en B et C. F est tel que les arcs BF et CF sont égaux, c’est-à-dire que (OF) est la médiatrice de [BC].
            Il s’agit de prouver que A,P et F sont égaux.
            D et E sont les intersections du cercle de centre M avec (AB) et (AC).
            Soit h l’homothétie de centre A qui transforme M en O. Elle transforme le petit cercle en grand cercle.
            On a donc h(D) = B et h(E) = C et donc (BC)//(DE).
            (BC) étant tangente en P on a (BC) $\bot$ (MP) qui étant un diamètre est la médiatrice de [DE]
            L’image par h de (MP) est donc la médiatrice de [BC] c’est-à-dire (OF). L’image de P, intersection de (MP) et du cercle de centre M est l’intersection entre (OF) et le cercle de centre O c’est-à-dire F.
            Avec une faiblesse toutefois puisque (OF) recoupe le cercle en 2 points . On lève l’ambiguïté en travaillant avec des demi-droites.

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