Figure sans paroles #6.1.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.1.7

    le 16 octobre à 15:20, par Sidonie

    Un résultat préliminaire : Dans un triangle ABC, le cercle passant par A, par O centre du cercle circonscrit et par M milieu de [BC] coupe le cercle circonscrit en D point de la symédiane issue de A et la droite (BC) en T point de concours des tangentes en A et D.
    (OM) est perpendiculaire à (BC) donc [OT] est un diamètre et (OA) et (OD) sont perpendiculaires à (TA) et (TD).
    T est donc un sommet du triangle tangentiel à ABD et (BC) devient la symédiane commune à ABD et ACD. Un résultat acquis dans la série des 4.4 dit qu’alors (AD) est la symédiane commune à ABC et DBC.
    J’en redonne une démonstration : H est le pied de la hauteur issue de A . Une propriété célèbre donne (AB,AH) = (AO,AC).
    (BC) et (OT) sont perpendiculaires à (AH) et (AD) donc (AH,AD) = (TM,TO)
    (TM,TO) = (AM,AO) en tant qu’angles inscrits interceptant le même arc.
    (AB,AD) = (AB,AH) + (AH,AD) = (AO,AC) + (AM,AO) = (AM,AC) ce qui prouve que (AD) est symétrique de la médiane (AM) par rapport à la bissectrice de (AB,AC).
    Suite au message suivant.

    Document joint : fsp_6.1.7_debut.jpg
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  • 6.1.7

    le 16 octobre à 15:22, par Sidonie

    O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. D est un point de ce cercle. P et Q sont les centres de 2 cercles tangents intérieurement au cercle circonscrit en A et en D, Q appartenant au cercle de centre P et les deux cercles se coupant en E et F, points de (BC). Le cercle de centre P coupe (AB) et (AC) en G et H.
    Il s’agit de démontrer que (GH) est tangente au cercle de centre Q.

    Le cercle de centre Q coupe (DB) et (DC) en J et K.
    Les tangentes en A et D au cercle circonscrit se coupent en T.
    (AD) et (PQ) se coupent en S. [QP) coupe le cercle de centre Q en I

    (TA) et (TD) sont tangentes aux 2 petits cercles et ont la même longueur donc T est sur leur axe radical (BC). On est donc dans la même situation que dans le message précédent et (AD) devient la symédiane commune à ABC et DBC.
    L’homothétie de centre A qui transforme O en P transforme B en G et C en H donc (BC) // (CH) et laisse invariantes médiane, bissectrice et donc symédiane. (AD) est la symédiane de AGH.
    De même l’homothétie de centre D qui transforme Q en O donne (JK)//(BC) et (AD) symédiane de DJK.
    (PQ) est la médiatrice de [GH] et de [JK] or S intersection entre la médiatrice d’un côté et la symédiane issue du sommet opposé est un sommet du triangle tangentiel. Donc S, J et G sont alignés et (SG) est tangente aux deux cercles en G et J.
    (QG,QJ) = (GQ,GP) parce que (PG) // (QJ)
    (GQ,GP) = (QP,QG) parce que PQG est isocèle.
    (QG,QJ) = (QP,QG) donc (QJ) et (QP) sont symétriques par rapport au diamètre (QG).
    J a pour image I, G est invariant donc la tangente (GJ) a pour image la tangente (GI).
    La même démonstration côté H donnera (GH) tangente en I au cercle de centre Q

    Document joint : fsp_6.1.7.jpg
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    • 6.1.7

      le 16 octobre à 23:24, par Sidonie

      J’ai oublié une partie de la démonstration. Rien ne prouve sans cette partie que S,J et G sont alignés.
      L’homothétie de centre D qui passe de Q en O suivie de celle de centre A qui passe de O à P est une homothétie qui passe de Q à P. Son centre est sur (AD) et aussi sur (PQ) : c’est donc S et l’alignement est maintenant justifié.

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      • 6.1.7

        le 17 octobre à 14:17, par Hébu

        Impressionnant ! Mélange inattendu d’homothétie et de symédiane, comme une recette de cuisine inventive…

        Je désespérais de parvenir à la solution, retournant dans tous les sens les homothéties — il me manquait l’étincelle. On va pouvoir attendre sereinement l’énigme à venir.

        Bravo !

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        • 6.1.7

          le 18 octobre à 11:14, par Sidonie

          Curieuse appréciation pour la bien piètre cuisinière que je suis.

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          • 6.1.7

            le 18 octobre à 18:23, par Hébu

            Pardonnez mon lyrisme... C’est que je vois cette démonstration comme un savant mélange, tel que les exécutent les grands chefs. Eux prennent des ingrédients, qu’on utilise habituellement seuls, et qui donnent des plats réputés, et en les associant, de façon inattendue, inventent une recette, qui va surprendre et enthousiasmer le convive et leur valoir la troisième étoile du guide !

            C’est une situation analogue ici, association inattendue (pour moi, au moins) de deux méthodes, que l’on emploie seules habituellement. Et qui marche !

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