Figure sans paroles #6.1.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.1.9

    le 27 octobre à 18:33, par Sidonie

    Deux cercles de centres N et P tangents intérieurement en A et B à un cercle de centre O ont un point d’intersection C qui appartient au segment [AB].
    Il faut démontrer que la somme des rayons des deux cercles est le rayon du grand, ce qui se ramène à NA + PC = OA c’est-à-dire ON = PC.
    OAB, NAC et PCB sont 3 triangles isocèles ayant les mêmes angles
    donc $\widehat {ACN}$ = $\widehat {ABO}$ et $\widehat {BCP}$ = $\widehat {BAO}$.
    Le théorème des angles correspondants donne (CN)//(BO) et (CP)//(AO) et donc ONPC est un parallélogramme avec des côtés opposés ON et PC égaux.

    Document joint : fsp_6.1.9.jpg
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  • 6.1.9

    le 28 octobre à 13:02, par Hébu

    Oui. On pouvait également faire appel aux homothéties (une de centre A, l’autre de B), pour aboutir au parallélogramme - pour rester dans l’atmosphère des précédents !

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    • 6.1.9

      le 29 octobre à 16:48, par Sidonie

      Certes, mais pour une fois, je voulais une démonstration accessible depuis le collège.

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      • 6.1.9

        le 29 octobre à 17:52, par Hébu

        Oui, et c’est parfaitement réussi (mais je me souviens qu’on m’a parlé d’homothéties au collège, sans que je puisse réellement m’en servir).

        L’intéressant, dans cette preuve « pour le collège », est qu’elle est aussi courte que celle qui fait appel à l’homothétie. La seule justification qu’il me semble envisageable, pour l’usage de notions avancées (les homothéties, les inversions, l’usage des coniques, etc.) c’est de permettre des preuves plus compactes, en court-circuitant de longs développements.

        Et dans cet exemple là, cette justification tombe. Ce qui me fait dire que cette démonstration pour les collégiennes et collégiens est la meilleure (l’autre étant teintée de pédantisme...)

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