Figure sans paroles #6.2.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.2

    le 16 novembre à 15:51, par Sidonie

    Deux cercles de centres N et P sont tangents intérieurement en A et B au cercle de centre O. De A puis de B on mène les tangentes en C et D, puis E et F aux cercles de centres P et N. I et J sont les cercles tangents à un de cercles de centre N ou P et au tangentes tracées à l’autre cercle.
    Il s’agit de prouver que les deux derniers cercles ont le même rayon.
    Preuve. Soient G et H les intersections de (NJ) et (PI) avec (AB).
    L’homothétie de centre A qui transforme B en H transforme le cercle de centre O en cercle de centre N et le cercle de centre P en cercle de centre J. Donc $\frac {PB} {JH}$ = $\frac {AB} {AH}$
    L’homothétie de centre B qui transforme G en A transforme le cercle de centre P en cercle de centre O et le cercle de centre I en cercle de centre N. Donc $\frac {IG} {AN}$ = $\frac {BG} {AB}$
    Les triangles AHN, BGP sont semblables au triangle ABO donc $\frac {AN} {BP}$ = $\frac {AH} {BG}$
    En multipliant membre à membre les 3 égalités il vient $\frac {IG} {JH}$ = 1 et donc IG = JH

    Document joint : fsp_6.2.2.jpg
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    • 6.2.2

      le 16 novembre à 16:23, par Hébu

      Homothétie, le retour !

      J’ai le même argument, avec une toute petite variante, on peut écrire que PB/JH=AB/AH, mais aussi que PB/JH est le apport de l’homothétie, qui transforme le cercle N en cercle O, soit PB/JH=OB/AN, et donc JH=AN*PB/OB

      Et c’est le même résultat pour l’autre cercle.

      Juste l’économie d’une similitude.

      Répondre à ce message

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