Figure sans paroles #6.2.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.4

    le 30 novembre 2020 à 13:13, par Hébu

    C’est une variation sur le précédent. On se donne trois cercles, centres $A, B, C$, extérieurs les uns aux autres. On construit les tangentes communes aux cercles pris deux à deux, concourantes en $D, E, F$ (cercles $A-B$, $A-C$ et $B-C$). Mais contrairement à la figure 6.2.3, on construit les tangentes intérieures des couples $A-B$ et $A-C$.

    Mais les points de concours, $D,E,F$ restent alignés !

    .
    Je propose encore de faire appel à Menelaüs. Les rapports concernant les couples $A-B, A-C$ sont négatifs ($ \overline{DB}/\overline{DA}=-r_B/r_A$), mais le produit des trois quantités reste égal à +1.

    Document joint : idm6-2-4.jpg
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    • 6.2.4

      le 9 décembre 2020 à 10:08, par Sidonie

      Je joint un fichier géogébra qui montre qu’en fait 6.2.3 et 6.2.4 sont une seule et même figure.
      Sur les bissectrices concourantes en I du triangle A’B’C’ on place A,B et C centres de 3 cercles tangents à (A’B’) et (A’C’) , (B’A’) et (B’C’), (C’A’) et (C’B’). On définit D, E et F comme avant. Les 2 triangles vérifient les hypothèses de Desargues quelle que soit la position de A, B et C donc D,E et F sont alignés.
      Au début on a la situation 6.2.3 et en faisant glisser A vers le haut on obtient 6.2.4.

      Document joint : fsp_6.2.4.ggb
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      • 6.2.4

        le 9 décembre 2020 à 16:02, par Hébu

        Effectivement, belle démonstration. Merci ! De sorte que le résultat de Desargues prouve les trois figures 6.2.3, 6.2.4 et 6.2.5 (et peut-être d’autres à venir). Il faut réellement approfondir

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