Figure sans paroles #6.2.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.5

    le 8 décembre 2020 à 00:02, par Sidonie

    3 cercles de centres D, E et F, notés d, e et f, sont tangents intérieurement à un cercle de centre O en A, B et C. (A’B’) est une tangente extérieure à d et e, (B’C’) à e et f et (C’A’) à f et d.
    Il s’agit de montrer que (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.
    (AC) $\cap$ (A’C’) = I. (AC) $\cap$ d = A et J
    Les triangles OAC et DAJ sont semblables donc (DJ) //(FC) et l’homothétie de centre I qui envoie F en D envoie C en J et donc f en d. I est alors le point de concours des tangentes extérieures à d et f. On en déduit (AC) $\cap$ (A’C’) = I.
    De même façon on démontre que (AB), (DE) et (A’C’) sont concourantes en G et que (BC), (EF) et (B’C’) sont concourantes en H.
    Dans le 6.2.3 on a vu que G , H et I sont alignés.
    Les triangles ABC et A’B’C’ vérifient les hypothèses du théorème réciproque de Desargues donc vérifient aussi sa conclusion : (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.

    Document joint : fsp_6.2.5.jpg
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  • 6.2.5

    le 8 décembre 2020 à 17:40, par Hébu

    J’ai un peu de mal à bien assimiler votre preuve. Un point me chafouine.

    Le point I est défini comme intersection de (AC) et (A’C’). Puis, deux lignes plus loin « On en déduit (AC) ∩ (A’C’) = I »

    En fait si je comprends, le raisonnement montre que I est le point de concours des DEUX tangentes extérieures, et donc que I est sur (DF).

    Je suis donc prêt à soupçonner une coquille, vous écrivates (écrivites ?) « On en déduit (AC) ∩ (A’C’) = I » en voulant dire « On en déduit (AC) ∩ (DF) = I ».

    Je pense que cette légère correction rétablit l’ordre du monde. J’ai l’air de chercher la petite bête, mais c’est que je suis pas sûr de moi.

    Et je suis impressionné. Je n’ai pas réussi à faire la jonction entre cette figure et le 6.2.3. Une fois qu’on voit la liaison, on s’écrie « mais oui, comment ne pas y avoir pensé plus tôt ? ». Signe qui ne trompe pas d’un trait de génie !

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    • 6.2.5

      le 8 décembre 2020 à 17:58, par Sidonie

      Vous avez bien raison, mais c’est à la première itération qu’il faut (DF) pour que ma démonstration soit correcte.

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