Figure sans paroles #6.3.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.3.6

    le 1er mars à 12:27, par Hébu

    Un triangle ABC, dans chaque angle un cercle tangente les deux côtés de l’angle. On note D, E, F les centres des cercles (ils sont situés sur les bissectrices des angles en A, B, C).

    On trace les autres tangentes communes aux couples de cercles. Je note (u) la tangente commune aux cercles (D) et (E), (v) la tangente commune à (E-F) et (w) celle commune à (D-F).

    Je note R l’intersection (u)-(v), S, l’intersection (v)-(w) et Q l’intersection (u)-(w).

    Il faut alors montrer que (DQ), (BR) et (CS) sont concourants.

    .

    Tout d’abord, les tangentes communes aux couples de cercles concourent, je note G (resp. H ;J) l’intersection de (AC) et (w) (resp. (AB) et (u) ; (BC) et (v)).

    On retrouve l’alignement de G, H, J, conséquence de la composition des homothéties (cf. les figures 6.2)

    Et le résultat de Desargues nous donne le solution : les triangles ABC et QRS ont les côtés :

    • (AB) et (QR), intersection en H,
    • (AC) et (QS), " en G,
    • (BC) et (RS), " en J

    .
    et puisque G,H,J sont alignés, alors AQ, BR, CS sont concourants

    .

    En fait, c’est une variation sur les idées des figures précédentes.

    Document joint : idm-6-3-6.png
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