Figure sans paroles #6.4.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.4.1

    le 22 mars à 10:17, par Sidonie

    Un triangle ABC. M milieu de [BC]. O intersection entre bissectrice extérieure de $\widehat {BAC}$ et (d), médiatrice de [BC]. (C) est le cercle de centre O tangent en S et T à (AB) et (AC).
    Il s’agit de démontrer l’alignement M, S et T.
    La symétrique de la tangente (BS) par rapport à (d) est la tangente (CU).
    BS = CU = CT, AS = AT, BM = CM.
    On a donc AS.BM.CT = AT.BS.CM, vision multiplicative du théorème de Ceva, qui assure l’alignement.

    Document joint : fsp_6.4.1.jpg
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    • 6.4.1

      le 22 mars à 16:09, par Hébu

      Je propose une autre preuve, basée sur les angles. Et je me lance en utilisant les angles de droites...

      .
      (OM) est un axe de symétrie, de sorte que (BO,BS)=(CU,CO)=(CO,CT) (1)

      .
      Les points B,S,O,M sont cocycliques (angles droits en S et M) : (MO,MS)=(BO,BS) (2)

      De même les points U,O,T,M,C sont cocycliques : (MO,MT)=(CO,CT) (3)
      .

      Rapprochant (1,2,3), on a (MO,MS)=(MO,MT) : les droites (MT) et (MS) sont confondues.

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      • 6.4.1

        le 23 mars à 09:44, par Sidonie

        Deux solutions à fronts renversés : à vous les angles orientés, à moi Céva, étonnant non ! !

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        • 6.4.1

          le 23 mars à 11:19, par Hébu

          C’est vrai ! La preuve qu’on ne se laisse pas enfermer ...

          Ceci étant, j’ai choisi un objectif plutôt simple pour me lancer dans les angles de droites.

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