Figure sans paroles #6.8.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • Bravo !

    le 9 décembre 2021 à 13:19, par Reine

    Merci Sidonie, c’est magnifique ! Votre traitement unifié de ces quatre Figures sans Paroles m’a émerveillée.

    Vous pourriez ajouter à votre figure fsp_6.8._4_7_8_9_.jpg le cercle (autre que (O)) tangent à (A3), (B3) et (C3), et appeler A6, B6 et C6 les trois points de contact. Dans votre commentaire sur la Figure sans Paroles 6.8.5, A6B6 est sur la liste des « pas moins de 12 droites » dont vous prouvez qu’elles convergent au point P de votre figure fsp_6.8.5_et_6.jpg. Ainsi, A6B6 mérite d’être colorée en rouge ; il y a donc un sixième triangle tricolore et l’on passe de 10 à 15 familles de trois droites concourantes.

    J’ai eu la curiosité d’utiliser la figure fsp-685.png.jpg (proposée par Bistraque à propos de la Figure sans Paroles 6.8.5) pour regarder comment se comportent vos points Xij. Cela permet de vérifier vos conjectures (elles sont donc prouvées, mais cette vérification est-elle satisfaisante ?) : oui, X15 = X34 (et l’on a aussi X35 = X26) ; oui, tous les Xij (y compris les cinq Xi6) sont alignés. La droite sur laquelle se trouvent ces quinze points peut être précisée : c’est l’axe radical des deux cercles centrés en P et S sur votre figure fsp_6.8.5_et_6.jpg, qui sont orthogonaux à (O) et passent, l’un par C1 et C2, l’autre par B1 et B2. Il y a bien sûr aussi le troisième cercle, orthogonal à (O) en A1 et A2 ; ces trois cercles appartiennent à un même faisceau, car ils sont tous trois orthogonaux aux cercles (O) et A6B6C6. Tous les Xij sont sur l’axe radical de ce faisceau, qui passe aussi par O = X13 = X24 et par le centre X36 du cercle A6B6C6.

    J’ai vérifié séparément pour chaque Xij la convergence des trois droites et l’appartenance du point de concours à l’axe radical ; c’est à chaque fois un argument de routine, de la même farine que mon commentaire sous la Figure sans Paroles 6.8.8.

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