Figure sans paroles #6.8.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • Rien que des cercles !

    le 16 mai à 19:46, par Reine

    Que de cercles ! On en compte huit, dont un en pointillés. Trois d’entre eux (ce sont ici les trois plus grands), que j’appellerai $c_1$, $c_2$ et $c_3$, sont disposés de façon à diviser le plan en huit régions. Dans chacune de ces régions, on pourrait tracer un (unique) cercle tangent à $c_1$, à $c_2$ et à $c_3$ ; mais on ne le fait que dans quatre régions, celle qui est intérieure aux trois cercles, et celles qui sont intérieures à deux d’entre eux et extérieures au troisième. [1] Sur la figure 1 du dessin ci-joint, je nomme $q_0$, $q_1$, $q_2$ et $q_3$ ces quatre cercles. Chacun des trois cercles $c$ est tangent aux quatre cercles $q$ ; la figure proposée fait apparaître, en pointillé, un quatrième cercle, $c_0$, lui aussi tangent à $q_0$, $q_1$, $q_2$ et $q_3$ ; il s’agit d’en démontrer l’existence.

    Pour ce faire, il est commode de transformer la figure par une inversion : en choisissant pour pôle le point $P$ commun à $c_1$ et $c_2$ et extérieur à $c_3$, les cercles $c_1$ et $c_2$ deviennent des droites $C_1$ et $C_2$, les autres cercles deviennent de nouveaux cercles tout en respectant les contacts, et on a maintenant affaire à la figure 2, dans laquelle il faut montrer l’existence d’un sixième cercle $C_0$, tangent à $Q_0$, $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$. Appelons donc $C_0$ le cercle auquel $Q_1$ et $Q_2$ sont tangents extérieurement, et $Q_0$ intérieurement (il est dessiné sur la figure 3, où, pour plus de lisibilité, $C_3$ n’apparaît plus). Il reste à établir que ce $C_0$ est tangent à $Q_3$, ou, ce qui revient au même, que le cercle $Q'_3$ tangent à $C_0$, $C_1$ et $C_2$ et que j’ai placé sur la figure 3, est identique au $Q_3$ de la figure 2.

    Nous allons pour cela faire appel aux propriétés de parallélisme établies à l’occasion de la Figure sans Paroles 4.7.19. Sur la figure 2, les quatre points d’intersection de $C_3$ avec $C_1$ et $C_2$ permettent de tracer (en couleur verte) deux cordes de $C_3$ ; de même, sur la figure 3, $C_1$ et $C_2$ déterminent deux cordes de $C_0$ (également en vert).

    Se reportant aux différents cas répertoriés sur l’illustration de la Figure sans Paroles 4.7.19, on voit que les deux cordes vertes de la figure 2 sont parallèles, d’une part aux TCI [2] à $Q_0$ et $Q_3$ (en appliquant les 4$^{\rm e}$ et 5$^{\rm e}$ cas à $C_3$, $Q_0$ et $Q_3$), et d’autre part aux TCE à $Q_1$ et $Q_2$ (en appliquant deux fois le 1$^{\rm er}$ cas à $C_3$, $Q_1$ et $Q_2$). En conséquence, les TCI à $\,Q_0$ et $\,Q_3$ ont mêmes directions que les TCE à $\,Q_1$ et $\,Q_2$.

    De même, sur la figure 3, en appliquant les 6$^{\rm e}$ et 7$^{\rm e}$ cas à $C^{\vphantom a}_0$, $Q^{\vphantom a}_0$ et $Q'_3$, on voit que les droites vertes sont parallèles aux TCI à $Q_0$ et $Q'_3$, et, en appliquant deux fois le 2$^{\rm e}$ cas à $C_0$, $Q_1$ et $Q_2$, qu’elles sont aussi parallèles aux TCE à $Q_1$ et $Q_2$. Ainsi, les TCI à $\,Q_0$ et $\,Q'_3$ sont parallèles aux TCE à $\,Q_1$ et $\,Q_2$, donc également aux TCI à $\,Q_0$ et $\,Q_3$ ; et finalement, les couples $(Q^{\vphantom a}_0,Q^{\vphantom a}_3)$ et $Q^{\vphantom a}_0,Q'_3)$ ont mêmes TCI. C’est pourquoi les cercles $Q^{\vphantom a}_3$ et $Q'_3$, ayant quatre tangentes communes, sont les mêmes.

    [1Le résultat subsisterait si l’on choisissait arbitrairement l’une des huit régions, ainsi que les trois qui ont une frontière commune avec celle-ci ; on se ramène facilement au cas étudié au moyen d’une inversion convenable.

    [2J’utiliserai cette abréviation pour « tangentes communes intérieures » ; et de même TCE.

    Document joint : figure-6-8-15.pdf
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