Figure sans paroles #6.10.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.10.8

    le 17 mai à 21:35, par Hébu

    On se donne deux cercles, de centres A et B, tangents en un point C.
    Depuis un point D, extérieur aux cercles, on trace les tangentes DE et DF aux cercles (A) et (B).

    Un troisième cercle, passant par C, E et F, on appelle H son centre.
    Il faut montrer que D, E, F, H sont cocycliques.

    .
    Encore une histoire d’angles.

    Je note J l’intersection de (AE) et (BF). A cause des angles droits en E et F, DJ est le diamètre d’un cercle passant par E et F.

    Le pentagone DEABF permet d’estimer la valeur de l’angle (DE,DF). On a (DE,DF)=-(BF,BA)-(AB,AE). Si j’appelle (d) la tangente commune en C aux deux cercles, 2*(d,CE)=(AB,AE) et 2*(CF,d)=(BF,BA) (angles inscrits), soit finalement (DE,DF)=-2*(CF,CE)=2*(CE,CF).

    Quant à (HE,HF), c’est l’angle au centre qui intercepte l’arc FE du cercle (H). De sorte que (HE,HF)=2*(CE,CF)

    .
    On doit pouvoir se passer de la référence au pentagone (mais pourquoi le faire ?).

    Document joint : idm-6-10-8.jpg
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