Figure sans paroles #6.10.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Une variante

    le 19 mai à 15:25, par Reine

    Une variante, guère différente de votre argument, mais sans pentagone (ni, d’ailleurs, vos points $A$ et $B$). Si $U$ et $V$ sont deux cercles (ou un cercle et une droite) se coupant en un point $I$, je noterai ${(U,V)}_I$ l’angle entre $U$ et $V$ au point $I$, c’est-à-dire l’angle de droites orientées que font les tangentes en ce point. Si $J$ est l’autre point d’intersection, on a toujours, par symétrie ou par le théorème des angles inscrits, ${(U,V)}_I=-{(U,V)}_J$.

    Ici nous avons deux cercles, $\alpha$ et $\beta$, tangents en un point $C$ (extérieurement sur la figure proposée et sur la vôtre, intérieurement sur la figure jointe ; cela ne change rien). Un troisième cercle, $\gamma$, de centre $H$, passe aussi par $C$ et recoupe respectivement $\alpha$ et $\beta$ en $E$ et $F$ ; les tangentes en $E$ à $\alpha$ et en $F$ à $\beta$ se coupent en $D$.

    On a ${(\alpha,\gamma)}_E=-{(\alpha,\gamma)}_C=-{(\beta,\gamma)}_C={(\beta,\gamma)}_F$ ; les droites $ED$ et $FD$ font ainsi en $E$ et $F$ le même angle avec $\gamma$. La rotation de centre $H$ qui envoie $E$ sur $F$ tout en préservant $\gamma$ envoie donc la droite $ED$ sur la droite $FD$ ; l’angle entre ces droites est donc l’angle de la rotation, d’où $(ED,FD)=(HE,HF)$, et la cocyclicité cherchée.

    Document joint : figure-6-10-8.pdf
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