Figure sans paroles #6.10.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.9

    le 24 mai à 10:13, par Reine

    Cette figure présente deux cercles C et D et leur axe radical R, ainsi qu’une droite tangente à C en un point A et coupant R en un point O. En appelant B le symétrique de A par rapport à O, il apparaît que la polaire de B par rapport à D passe par A.

    Cette propriété générale n’est pas tributaire du cas de figure ; elle a lieu quelle que soit la position relative des deux cercles (sécants, extérieurs, ou l’un intérieur à l’autre) et du point B (extérieur ou intérieur à D).

    En effet, établir que la polaire de B par rapport à D passe par A revient à montrer que A est un conjugué de B par rapport à D, ou encore que le cercle de diamètre AB est orthogonal à D, c’est-à-dire que la puissance de son centre O par rapport à D est le carré de son rayon OA. Mais, O étant sur l’axe radical R, cette puissance est la même que par rapport à C, et il suffit donc d’établir que ce cercle (O) est orthogonal à C, ce qui vient de la construction de OA comme tangente.

    On pourrait abréger ce discours en invoquant le théorème selon lequel un cercle centré sur l’axe radical de deux cercles (ou d’un faisceau de cercles) et orthogonal à l’un d’eux est automatiquement orthogonal à l’autre (ou à tous les cercles du faisceau). L’argument ci-dessus, par l’égalité des puissances, n’a fait que recopier la démonstration de ce théorème.

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    • 6.10.9

      le 25 mai à 21:45, par Hébu

      Une figure, pour illustrer l’argument précédent.

      Pour ma part, dans la ligne des figures de cette série, j’imaginais une solution à base de calculs d’angles, basiques...

      Il me reste quelques jours pour y arriver

      Document joint : reine6.10.9.jpg
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      • Merci !

        le 26 mai à 11:23, par Reine

        Merci, Hébu, d’avoir obligeamment illustré mon discours.

        Je ne l’avais pas fait moi-même, non seulement par paresse, mais aussi parce que le raisonnement couvre tous les cas, bien au-delà de celui que propose le site ; c’est seulement en suivant l’argument sans se fixer sur une figure particulière que l’on se convainc de sa généralité. Je joins à titre d’exemple une autre situation de la même propriété ; rien ne vous empêche d’en dessiner d’autres encore : mettez les deux cercles l’un dans l’autre, choisissez A sur l’un ou l’autre...

        Vous préféreriez des arguments plus basiques. Il en existe, puisque les théorèmes que j’ai employés (puissance, orthogonalité, pôle et polaire) sont eux-mêmes démontrés à l’aide de notions plus fondamentales (égalités, angles, proportions, similitude). En théorie, en remplaçant dans le cas particulier considéré chaque utilisation d’un théorème par la chaîne d’arguments qui le prouve, on obtiendrait une preuve élémentaire (mais déraisonnablement longue). Bien sûr, ce n’est pas ce que vous avez en tête, et j’aurai évidemment grand plaisir à voir sous votre plume surgir la même vérité d’un deuxième puits.

        Document joint : autre-6-10-9.pdf
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