Figure sans paroles #6.10.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.15

    le 7 juillet à 17:12, par Reine

    Partant d’un triangle ABC, on appelle D l’un des deux points sur BC tels que CD$\,$=$\,$CA (n’importe lequel ; sur ma figure, comme sur celle que l’on nous propose, C est entre B et D, mais ça n’a pas d’importance). Le cercle de diamètre BC et le cercle passant par A, C et D se coupent en C et en un autre point H. L’alignement en pointillés sur la figure proposée signifie que la polaire de H par rapport aux deux droites AB et AC passe par D ; en voici une démonstration (aussi peu coûteuse en points auxiliaires que possible, dans le cadre des soldes d’été).

    On a deux cordes différentes, mais de même longueur, CA et CD, dans le cercle ACD ; les arcs orientés AC et CD sont donc égaux. Vu de H, qui est sur le cercle, cela donne (HA,$\,$HC)$\,$=$\,$(HC,$\,$HD), c’est-à-dire que HC est une bissectrice des droites HA et HD. L’autre bissectrice est HB (perpendiculaire à HC car H est aussi sur le cercle de diamètre BC). Le faisceau (HB,$\,$HC,$\,$HA,$\,$HD) est donc harmonique, et le point K où AH coupe BC est le conjugué harmonique de D par rapport à B et C. C’est pourquoi le faisceau (AB,$\,$AC,$\,$AH,$\,$AD) est, lui aussi, harmonique.

    Document joint : figure-6-10-15.pdf
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    • 6.10.15

      le 8 juillet à 12:29, par Hébu

      J’avoue ne rien comprendre à la preuve. Ou plutôt, je suis partant pour l’harmonicité de (AB,AC,AH,AD) — mais je ne vois pas ce qu’on peut en tirer pour l’alignement du dessin !

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      • 6.10.15

        le 8 juillet à 15:26, par Reine

        La construction classique de la polaire d’un point H par rapport à deux droites D et D’ consiste à tirer de H deux sécantes, l’une rencontrant D et D’ en P et P’, l’autre en Q et Q’ ; et PQ’ et QP’ se coupent alors en un point de la polaire. Les deux droites étant ici AB et AC et les sécantes HB et HC, vous voyez que la droite passant par les points B’ et C’ doit rencontrer BC en un point de la polaire de H, donc conjugué harmonique de K par rapport à B et C.

        D’autres mots pour la même chose : dans le quadrilatère complet formé par les quatre droites AB, AC, HB et HC, la diagonale BC est coupée harmoniquement par les deux autres, qui sont AH et B’C’ ; ainsi B’C’ coupe BC au point conjugué harmonique de K par rapport à B et C.

        Force m’est de reconnaître que, pour lésiner sur les points auxiliaires en évitant d’introduire B’ et C’, ma démonstration était — tout comme la droite de la figure — en pointillés. Je vous sais gré de m’avoir donné l’occasion de la compléter.

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        • 6.10.15

          le 8 juillet à 21:53, par Hébu

          Avec ces précisions, tout s’éclaire ! C’est le problème central de ce genre de blog — le niveau de familiarité (plutôt, sa disparité) des amateurs qui le fréquentent. Et pour qui « la construction classique de la polaire » n’évoque rien...

          Mais courage, une piste à creuser .

          Merci, donc !

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          • 6.10.15

            le 10 juillet à 20:13, par Reine

            Pour éviter polaires et quadrilatères complets, vous pouvez aussi recourir à la formule de Céva [1] dans le triangle ABC, pour les trois droites AH, BH et CH. Elle fait intervenir entre autres le rapport $\overline{KB}\,/\,\overline{KC}$ ; en le remplaçant par son opposé $\overline{DB}\,/\,\overline{DC}$, vous transformez Céva en un Ménélaüs qui traduit l’alignement cherché.

            [1Dont j’avais apprécié il y a quelque temps votre jolie démonstration.

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