Figure sans paroles #6.10.18

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.18

    le 4 août à 23:37, par Sidonie

    A,B et C sont des points d’un cercle de centre O. D point de (AC), E point de (AB) et F sont tels que les triangles FCD et FEB sont égaux dans cet ordre.
    Il s’agit de démontrer que (DE) et (FO) sont perpendiculaires.
    La figure s’enrichit de 3 cercles passant par A,B,D centre P ; A,D,E centre Q ; A,C, E centre R.
    G est l’autre intersection que A de (O) et (Q)
    (QP) est la médiatrice de [AD] qu’elle coupe en son milieu H et (OR) médiatrice de [AC] le coupe en son milieu I. On a alors facilement IH = CD/2 et (QP)//(OR).
    En faisant de même avec (PO) et (QR) sur (AC) on a JK = BE/2 et (OP) // (QR).
    On en déduit que OPQR est un losange. Soit M son centre.
    M est sur la médiatrice (PR) de [AF] donc MA = MF. Il est aussi sur la médiatrice (OQ) de [AG] donc MA = MG. Les 2 médiatrices sont perpendiculaires donc les segments aussi. AFG est un triangle rectangle et M est le milieu de [FG] comme M est aussi le milieu de [OQ] on a (GQ)//(OF).
    On a (AD,AG) = (OM,OR) ayant des côtés perpendiculaires 2 à 2. De même (AG,AE) = (OQ,OP) et comme (OM,OR) = (OQ,OP) AG devient la bissectrice de (AD,AE) .
    Dans le cercle (Q) G est alors un point de la médiatrice de [DE] donc (GQ) et sa parallèle (OF) sont perpendiculaires à (DE)
    OUF !!!

    Document joint : fsp_6.10.18.jpg
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  • 6.10.18

    le 5 août à 18:57, par Hébu

    Impressionnant ! J’étais parti sans succès sur l’idée de rotation (FBE est FDC après rotation), ce qui implique des angles égaux, des points cocycliques, etc. Mais sans plus.

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  • 6.10.18

    le 8 août à 21:25, par Hébu

    Je reprends les notations de Sidonie, et je redécris la figure comme je l’ai explorée.

    On a un trangle FDC (en rouge), et un second triangle FBE, déduit du premier par une rotation, qui emmene (FD) sur (FB), etc. Je note (FD,FB)=w, l’amplitude de la rotation.

    .
    On voit apparaître les triangles isocèles FDB et FCE. Ils sont semblables.
    Alors, on peut imaginer une rotation de centre F d’amplitude (FD,FC)=f, suivie d’une homothétie (centre F, rapport FC/FD), qui transportera FDB sur FCE.

    .
    Je trace alors les cercles circonscrits à ces derniers triangles.
    P centre du cercle (FDB), et R centre du cercle (FCE).
    .

    Par ailleurs la figure introduit le cercle (ABC), de centre O

    .
    Les points F,B,A,D sont cocycliques, de même que F,A,C,E (autrement dit, A est l’intersection des cercles circonscrits aux triangles FCE et FBD)
    Démonstration ...
    (EF,EA)=(CF,CA) - triangles FBE et FDC égaux. Donc F, A, C, E cocycliques
    (DF,DA)=(BF,BA) - angles supplémentaires aux sommets en B et D. Donc F,B,D,A cocycliques
    .

    Sidonie introduit un cercle supplémentaire, qui lui permet d’achever la preuve.

    .
    Je m’arrête à cet endroit, et j’observe :

    • Les triangles FRP et FCD sont semblables.
      FP médiatrice de BD et (FD,FB)=w.
      (FD,FP)=w/2. De même (FC,FR)=w/2. Donc (FP,FR)=(FD,FC)=f
      de plus, FP/FR=FD/FC
      (RF,RP)=(CF,CD) ; (PR,PF)=(DC,DF)
      .
    • Les triangles OPR et FBD sont semblables
      O et P sur la médiatrice de AB.
      O et R sur celle de AC.
      P et R sur la médiatrice de AF.
      Donc (OR,OP)=(AC,AB)=(FD,FB)= w, et (PR,PO)=(AF,AB)=(DF,DB)
      et OP=OR
      .

    Il me semble alors que cette propriété du point O doit « cacher quelque chose » — liée à l’orthogonalité à prouver.

    .
    Remarque. Il y a d’autres propriétés merveilleuses. Par exemple, j’appelle W l’intersection de (DB) et (CE). Alors, les cercles circonscrits à FDC et FBE passent par W.

    Document joint : idm-6-10-18question.jpg
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