Figure sans paroles #6.10.18

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.10.18

    le 4 août à 23:37, par Sidonie

    A,B et C sont des points d’un cercle de centre O. D point de (AC), E point de (AB) et F sont tels que les triangles FCD et FEB sont égaux dans cet ordre.
    Il s’agit de démontrer que (DE) et (FO) sont perpendiculaires.
    La figure s’enrichit de 3 cercles passant par A,B,D centre P ; A,D,E centre Q ; A,C, E centre R.
    G est l’autre intersection que A de (O) et (Q)
    (QP) est la médiatrice de [AD] qu’elle coupe en son milieu H et (OR) médiatrice de [AC] le coupe en son milieu I. On a alors facilement IH = CD/2 et (QP)//(OR).
    En faisant de même avec (PO) et (QR) sur (AC) on a JK = BE/2 et (OP) // (QR).
    On en déduit que OPQR est un losange. Soit M son centre.
    M est sur la médiatrice (PR) de [AF] donc MA = MF. Il est aussi sur la médiatrice (OQ) de [AG] donc MA = MG. Les 2 médiatrices sont perpendiculaires donc les segments aussi. AFG est un triangle rectangle et M est le milieu de [FG] comme M est aussi le milieu de [OQ] on a (GQ)//(OF).
    On a (AD,AG) = (OM,OR) ayant des côtés perpendiculaires 2 à 2. De même (AG,AE) = (OQ,OP) et comme (OM,OR) = (OQ,OP) AG devient la bissectrice de (AD,AE) .
    Dans le cercle (Q) G est alors un point de la médiatrice de [DE] donc (GQ) et sa parallèle (OF) sont perpendiculaires à (DE)
    OUF !!!

    Document joint : fsp_6.10.18.jpg
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