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• 6.10.18

  le 8 août 2022 à 21:25, par Hébu

  Je reprends les notations de Sidonie, et je redécris la figure comme je l’ai explorée.

  On a un trangle FDC (en rouge), et un second triangle FBE, déduit du premier par une rotation, qui emmene (FD) sur (FB), etc. Je note (FD,FB)=w, l’amplitude de la rotation.

  .
  On voit apparaître les triangles isocèles FDB et FCE. Ils sont semblables.
  Alors, on peut imaginer une rotation de centre F d’amplitude (FD,FC)=f, suivie d’une homothétie (centre F, rapport FC/FD), qui transportera FDB sur FCE.

  .
  Je trace alors les cercles circonscrits à ces derniers triangles.
  P centre du cercle (FDB), et R centre du cercle (FCE).
  .

  Par ailleurs la figure introduit le cercle (ABC), de centre O

  .
  Les points F,B,A,D sont cocycliques, de même que F,A,C,E (autrement dit, A est l’intersection des cercles circonscrits aux triangles FCE et FBD)
  Démonstration ...
  (EF,EA)=(CF,CA) - triangles FBE et FDC égaux. Donc F, A, C, E cocycliques
  (DF,DA)=(BF,BA) - angles supplémentaires aux sommets en B et D. Donc F,B,D,A cocycliques
  .

  Sidonie introduit un cercle supplémentaire, qui lui permet d’achever la preuve.

  .
  Je m’arrête à cet endroit, et j’observe :

  • Les triangles FRP et FCD sont semblables.
    FP médiatrice de BD et (FD,FB)=w.
    (FD,FP)=w/2. De même (FC,FR)=w/2. Donc (FP,FR)=(FD,FC)=f
    de plus, FP/FR=FD/FC
    (RF,RP)=(CF,CD) ; (PR,PF)=(DC,DF)
    .

  • Les triangles OPR et FBD sont semblables
    O et P sur la médiatrice de AB.
    O et R sur celle de AC.
    P et R sur la médiatrice de AF.
    Donc (OR,OP)=(AC,AB)=(FD,FB)= w, et (PR,PO)=(AF,AB)=(DF,DB)
    et OP=OR
    .

  Il me semble alors que cette propriété du point O doit « cacher quelque chose » — liée à l’orthogonalité à prouver.

  .
  Remarque. Il y a d’autres propriétés merveilleuses. Par exemple, j’appelle W l’intersection de (DB) et (CE). Alors, les cercles circonscrits à FDC et FBE passent par W.

  Document joint : idm-6-10-18question.jpg
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