Figure sans paroles #7.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 7.10

    le 21 novembre à 15:28, par Hébu

    C’est le « birapport » ! Qui s’appelait « rapport anharmonique », autrefois.

    Il suffit de l’écrire. Si j’appelle A, B, C, D les points dans l’ordre, en les indexant par 1 pour la première sécante, et par 2 pour la seconde, le birapport s’écrit , par exemple :

    (CA/CB) / (DA/DB)

    soit $\frac{(a+b)(b+c)}{b(a+b+c)}$ ou encore $1+\frac{ac}{b(a+b+c)}$

    Et ce rapport est constant !

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  • 7.10

    le 21 novembre à 15:29, par Hébu

    Question : pourquoi a-t-on changé le nom de l’ancien rapport anharmonique ?

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  • 7.10

    le 24 novembre à 17:56, par Reine

    On avait au départ un faisceau quatre droites concourantes. Si l’on sait seulement que trois d’entre elles sont concourantes, l’égalité des deux expressions n’est pas seulement nécessaire, mais aussi suffisante pour que la quatrième droite concoure avec les trois autres. Cette réciproque, qui se vérifie sans peine par identification, généralise le théorème de Hébu,$\,$ montré par Hébu et ainsi nommé par Sidonie dans leurs commentaires de décembre 2020 sous la Figure sans Paroles 4.5.11.

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    • 7.10

      le 26 novembre à 17:01, par Hébu

      Ca permettrait peut-être une autre preuve du4.5.11 ? Il faut regarder

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      • 7.10

        le 27 novembre à 14:36, par Reine

        Bien sûr, puisque votre généralisation du 4.5.11 est un cas particulier de cette réciproque.

        Soyons précise. Voici l’énoncé général : Soient quatre points alignés$\,$ A, B, C et$\,$ D (respectivement$\,$ A’, B’, C’ et$\,$ D’), tels que les trois droites$\,$ BB’, CC’ et$\,$ DD’ soient concourantes. Si les deux rapports anharmoniques sont égaux, la droite$\,$ AA’ concourt avec les trois autres.$\,$ Cela pourrait probablement se démontrer en suivant à rebours la même argumentation que pour le théorème direct, mais il est aussi simple de l’en déduire par identification : il suffit d’appeler O le point de concours et A’’ l’intersection de AO avec la droite B’C’D’, puis de remarquer que A’ et A’’ sont égaux car divisant le segment C’D’ dans le même rapport.

        Dans le cas où$\,$et$\,$ D’ sont le même point$\,$ (à l’intersection des deux droites), l’égalité des rapports anharmoniques équivaut au concours des trois droites$\,$ AA’, BB’ et$\,$ CC’, comme le prouve la même démonstration.

        Ceci contient (et donc redémontre) la propriété que vous avez mise en évidence sous la Figure 4.5.11 ; et peut-être d’ailleurs aussi d’autres concours de droites proposés à notre sagacité par ce site...

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