Figure sans paroles #7.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 7.11

    le 30 novembre 2022 à 20:30, par Reine

    On voit ici un triangle $ABC$, et trois points $A'$, $B'$ et $C'$ choisis sur les droites $BC$, $CA$ et $AB$ de façon que $AA'$, $BB'$ et $CC'$ soient concourantes. On a en outre des points $p$ sur $B'\!C'$, $q$ sur $C'\!A'$ et $r$ sur $A'\!B'$ ; la figure suggère que si $A'\!p\,$, $B'\!q\,$ et $C'\!r\,$ sont concourantes, alors $Ap\,$, $Bq\,$ et $Cr\,$ le sont aussi.$\,$ Je vais le vérifier, et montrer en même temps la réciproque : ces deux concurrences sont équivalences.

    Deux ingrédients seront utilisés : d’une part la préservation des rapports anharmoniques lors des projections, qui a fait la semaine dernière l’objet de la Figure sans Paroles 7.10, d’autre part le théorème de Céva (Figure sans Paroles 4.9.15). Rappelons-le : étant donnés trois points $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sur $BC$, $CA$ et $AB$, les droites $A\alpha$, $B\beta$ et $C\gamma$ concourent si et seulement si le produit de Céva\[{\mathbb P}(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{\,\overline{\!\alpha B\!}\,}{\,\overline{\!\alpha C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!\beta C\!}\,}{\,\overline{\!\beta A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!\gamma C\!}\,}{\,\overline{\!\gamma A\!}\,}\]est égal à $-1$. Je noterai avec un ${\mathbb P}'$ les produits de Céva relatifs au triangle $A'\!B'\!C'$.

    Appelons (figure jointe) $a$ l’intersection de $AA'$ et $B'\!C'$, et de même $b$ et $c$ mutatis mutandis. Introduisons aussi l’intersection $P$ de $Ap$ et $BC$ et de même $Q$ et $R$. Les rapports anharmoniques se conservant par projection de centre $A$,\[\frac{\,\overline{\!pB'\!}\,}{\,\overline{\!pC'\!}\,}\bigg/\frac{\,\overline{\!aB'\!}\,}{\,\overline{\!aC'\!}\,}\ =\ \frac{\,\overline{\!PC\!}\,}{\,\overline{\!PB\!}\,}\bigg/\frac{\,\overline{\!A'\!C\!}\,}{\,\overline{\!A'\!B\!}\,}\;.\]En écrivant la même chose avec pour centres $B$ et $C$ et en multipliant tout ça, on trouve\[\frac{{\mathbb P}'\!(p,q,r)}{{\mathbb P}'\!(a,b,c)}\ =\ \frac{{\mathbb P}(A'\!,B'\!,C')}{{\mathbb P}(P,Q,R)}\;.\]Les droites $AaA'$, $BbB'$ et $CcC'$ étant concourantes, ${\mathbb P}'\!(a,b,c)$ et ${\mathbb P}(A'\!,B'\!,C')$ valent $-1$, de sorte que ${\mathbb P}'\!(p,q,r)$ et ${\mathbb P}(P,Q,R)$ sont inverses l’un de l’autre. Si l’un vaut $-1$, l’autre aussi, d’où l’équivalence entre la concurrence de $A'\!p$, $B'\!q$ et $C'\!r$ et celle de $ApP$, $BqQ$ et $CrR$.

    Document joint : figure-7-11.pdf
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