Commentaire sur l'article

• 8.8

  le 28 janvier à 18:03, par Hébu

  Encore un 18-gone régulier. Je choisis un point A, puis B:A+4 ; C:A+2 et D:A+5 ; E:A+3 et F:A+8

  Cette fois-ci, AB, CD et EF concourent en P.

  .
  Je n’ai pas réussi à produire une preuve géométrique (du genre de celles des figures précédentes).

  .
  Par contre, on trouve sur le web un article :

  Bjorn Poonen, Michael Rubinstein : The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon. SIAM Journal on Discrete Mathematics 11 (1998), no. 1, 135-156

  Dans ce papier, les auteurs donnent une condition nécessaire et suffisante pour une intersection multiple. Sur la figure, leur résultat s’écrit :
  \[ \frac{AF\times CE\times BD}{BE\times DF\times AC}=1 \]

  On peut exprimer les longueurs des cordes, en fonction des angles, c’est à dire des positions relatives ds points sur le cercle circonscrit : je pose $\theta=2\pi/n$, si A et C sont séparés par $k$ côtés, alors $(OC,OA)=k\theta$ et $AC=2\times R \times \cos{k\theta/2}=2.R.\sin{k\theta/2}$.

  De sorte que la cns s’écrit, dans notre cas :
  \[\frac{\sin{8w}.\sin{w}.\sin{w}}{\sin{w}\sin{3w}\sin{2w}}=1 \]
  (avec $w=\theta/2=\pi/n$ : c’est l’angle sous lequel un sommet voit un côté du polygone).

  Les identités trigonométriques élémentaires montrent que la condition est bien remplie.

  Commentaires :
  * la preuve de la cns est simple : dans un sens, il suffit d’écrire les similitudes des triangles PAF et PEB, etc. Dans l’autre sens, on suppose que deux diagonales (eg (AB) et (CD)) se coupent en P, et on calcule les positions de E et F, utilisant la relation.
  * l’article calcule le nombre de k-intersections, pour k=3,...,7 et n jusqu’à 30. Il affirme qu’il n’existe aucune intersection de 3 diagonales ou plus si n est impair.
  * il est frustrant (en tous cas, je le suis énormément) de ne pas pouvoir montrer directement que l’on n’observe aucune 3-intersection pour n impair ! Par comparaison, on montre très simplement que des 3-intersections correspondant aux bissectrices ou aux hauteurs de triangles construits sur les sommets du polygone donnent une telle intersection si et seulement si n est pair.

  Document joint : idm8-8.jpg
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• 8.8

  le 29 janvier à 08:22, par Reine

  J’ai déjà lu une démonstration de cette condition nécessaire, dans... votre commentaire sous la Figure sans Paroles 6.10.24 ; vous y abordiez aussi le cas de polygones plus généraux.

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• 8.8

  le 29 janvier à 11:41, par Hébu

  Oui, bien vu ! C’est que ma mémoire doit sérieusement s’effilocher.

  Et relisant la remarque que vous aviez faite à ce propos, je me dis qu’une extension intéressante de ces cas consisterait à examiner les 3-intersections (ou plus) extérieures au polygone

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• Et la condition suffisante ?

  le 29 janvier à 09:57, par Reine

  Dans cette Figure sans Paroles, comme dans celles des semaines précédentes, c’est de la condition suffisante que l’on a besoin. Je n’ai pas compris la démonstration que vous en esquissez (calculer les positions de E et de F), ni même l’énoncé précis de cette condition suffisante. Dans le cas particulier de la Figure 8.8, il se trouve que B est à égale distance de D et de E. Le point diamétralement opposé B’ a la même propriété ; la formule FA$\,$CE$\,$BD = AC$\,$BE$\,$DF reste donc vraie si vous y remplacez B par B’, et cependant la droite AB’ ne passe pas par le point commun à CD et EF. Faut-il supposer convexe l’hexagone FACEBD ? On pourrait aussi espérer une condition suffisante en exigeant que la formule soit satisfaite non seulement par les six points F, A, C, E, B, et D, mais aussi en échangeant A et B (et, si cela ne suffit toujours pas, en échangeant en outre C et D). Qu’en disent les auteurs siamois ?

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• Et la condition suffisante ?

  le 29 janvier à 12:01, par Hébu

  J’ai dû être un peu confus. Ce que démontrent nos deux auteurs (qui travaillaient à ce moment chez ATT Bell Labs !) c’est que 3 diagonales AB, CD, EF sont concourantes si et seulement si AF* CE*BD = BE*DF*AC . Donc évidemment B’ est hors jeu — les points sont donnés.

  Leur preuve consiste à dire 1/ supposons la concourance, alors par la méthode du 6.10.24 on montre l’égalité ; 2/ supposons 3 diagonales données (AB, CD, EF) telles que l’égalité soit valide, j’appelle P l’intersection AB-CD, et je montre, via des calculs trigonométriques, que la troisième passe aussi par P.

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• Et la condition suffisante ?

  le 29 janvier à 14:18, par Reine

  Merci, Hébu, pour cette réponse. Je crois avoir compris ce que vous voulez dire, mais sans en être sûre ; c’est pour lever ce doute (et non pour pinailler) que je vous demande une précision. Quand vous dites que « les points sont donnés », cela signifie-t-il que l’hexagone ACEBDF doit être convexe ? Autrement dit, B’ est-il « hors jeu » parce que les segments B’D et B’E croisent le segment AF ?

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• Et la condition suffisante ?

  le 29 janvier à 15:28, par Hébu

  Oui (Si je comprends bien leur preuve) : ils se donnent les points, dans cet ordre, en donnant la suite des arcs qui les séparent, créant de fait un hexagone convexe.

  En écrivant ceci, je réalise que les grandeurs des arcs (ils les notent u,v,...) pourraient être négatives !

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