Archives et divers : Images des maths 2006

Articles issus de l’incarnation précédente (en papier !) de “Images des Maths”. Ils sont de niveau largement supérieurs au reste du site, et parfois ardus même pour des chercheurs en mathématiques dans une spécialité différente ; cette rubrique sert d’archive de la revue papier.

L’inégalité de Brunn-Minkowski

Le 15 octobre 2006, par Frank Barthe

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Découverte en 1887, l’inégalité de Brunn-Minkowski sur le volume des sommes d’ensembles fut à l’origine d’une théorie toujours en développement qui étudie les propriétés volumiques fines des ensembles convexes. Cette inégalité ensembliste a par la suite eu des formulations fonctionnelles beaucoup plus souples qui ont élargi son domaine d’application, et permis de surprenantes connections avec les équations aux dérivéees partielles, la théorie de l’information ou des probabilités.

Un joli problème d’Erdös

Le 15 octobre 2006, par Michel Benaïm

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Soit 0 < a < 1 et Y^a = \sum_{k = 0}^{\infty} a^k \theta_k la série aléatoire obtenue en choisissant les \theta_k \in \{-1,1\} au hasard. L’étude de la fonction de répartition F^a(t) = \Pr(Y^a \leq t) révèle quelques connexions étonnantes entre la théorie des chaînes de Markov, l’analyse harmonique, la théorie des nombres algébriques, et la théorie géométrique de la mesure.

La preuve de la conjecture de Poincaré d’après G. Perelman

Le 15 octobre 2006, par Laurent Bessières, Gérard Besson et Michel Boileau

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Comment une conjecture, a priori purement topologique, résiste 100 ans aux topologues pour se livrer aux géomètres. Le programme lancé par Richard Hamilton en 1982 et mené à son terme par Grigori Perelman en 2003, repose sur le flot de la courbure de Ricci, une équation d’évolution qui tend à homogénéiser la métrique.

Théorie statistique de l’apprentissage

Le 15 octobre 2006, par Olivier Catoni

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Discipline inventée par Vladimir Vapnik ou évolution de l’inférence statistique traditionnelle vers l’analyse de données complexes, la théorie statistique de l’apprentissage se trouve au carrefour de différentes approches, qui touchent aux statistiques, bien entendu, mais aussi à la théorie de l’information ou à la mécanique statistique.

Les polygones déchaînés et le problème des n corps

Le 15 octobre 2006, par Alain Chenciner

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La richesse de la solution la plus triviale du problème des n corps - l’équilibre relatif de n masses égales disposées aux sommets d’un polygone régulier - se révèle si l’on observe globalement et en repère tournant les familles de solutions quasi-périodiques qui en bifurquent dans la direction normale au plan du polygone. Techniquement, l’étude de ce prolongement global se fait en minimisant l’action sous une contrainte de symétrie.

Ondes en milieu aléatoire

Le 15 octobre 2006, par Josselin Garnier

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Un milieu naturel tel que la croûte terrestre a souvent des propriétés physiques possédant des variations spatiales compliquées ou partiellement connues. Il peut alors être modélisé comme une réalisation d’un milieu aléatoire. Lorsqu’une onde se propage dans un tel milieu, on ne peut souvent donner qu’une description statistique de l’onde. Mais parfois, on peut trouver un résultat de nature déterministe : la quantité observée au cours d’une expérience ne dépend que de la statistique du milieu, et pas de la réalisation particulière.

Attracteurs des systèmes dynamiques et généricité

Le 15 octobre 2006, par Yulij Ilyashenko

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Les processus d’évolution sont omniprésents, que ce soit à travers le mouvement des atomes, ou bien dans la dynamique des planètes. Newton a pris conscience du fait que ces processus sont décrits par des équations différentielles...

Le mouvement brownien et son histoire, réponses à quelques questions

Le 15 octobre 2006, par Jean-Pierre Kahane

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Que peut-on saisir de l’histoire et de l’actualité du mouvement brownien en quelques pages ?

La théorie des sondages

Le 15 octobre 2006, par Michel Lejeune

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On présente ici les principes et enjeux simples de la théorie des sondages pouvant susciter des désirs d’approfondissement.

Compression d’image

Le 15 octobre 2006, par Erwan Le Pennec

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La compression de données est une activité ancienne : l’utilisation d’abréviation en est une preuve. Les langues elles-mêmes utilisent des mots de longueurs variées, les plus fréquents étant les plus courts, afin de réduire la taille des phrases. Il est cependant une application plus visible que les autres : la compression des images numériques.

Nombres transcendants et la diagonale de Cantor

Le 15 octobre 2006, par Michel Mendès France

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En revisitant de vieilles idées de Cantor, on découvre de nouveaux résultats concernant la construction des nombres transcendants. En particulier on montre comment « engendrer » tous les nombres transcendants de l’intervalle unité à partir de l’ensemble de tous les nombres algébriques de l’intervalle unité.

Surfaces à courbure moyenne constante

Le 15 octobre 2006, par Frank Pacard

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Les surfaces à courbure moyenne constante apparaissent de manière naturelle dans la modélisation des interfaces entre fluides de densités différentes ou encore dans l’étude du problème isopérimétrique. Ces 20 dernières années, l’introduction de techniques d’analyse a permis de faire des progrès considérables dans la compréhension de ces objets géométriques.

La plus grande valeur propre de matrices de covariance empirique

Le 15 octobre 2006, par Sandrine Péché

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Dans cet article nous expliquons brièvement l’intérêt de l’étude des valeurs propres extrêmes de matrices aléatoires hermitiennes de grande taille. Nous donnons ensuite les grandes lignes des méthodes d’étude de ces propriétés fines du spectre.

Rôles des figures dans la production et la transmission des mathématiques.

Le 15 octobre 2006, par Jeanne Peiffer

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L’histoire des images en mathématiques, balbutiante, est encore à la recherche d’outils appropriés. Deux approches sont ici décrites. La première s’intéresse à la matérialité de la communication scientifique et donc aux textes fabriqués pour un public. La seconde se place dans l’espace de la recherche et étudie les premières matérialisations, sous forme de figures, des idées dans le cerveau des mathématiciens.

A propos de la description des gaz parfaits

Le 15 octobre 2006, par Laure Saint-Raymond

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Le sixième problème posé par Hilbert au Congrès International des Mathématiciens en 1900 appelait une compréhension globale de la dynamique des gaz. Une analyse fine de l’équation de Boltzmann permet aujourd’hui d’obtenir rigoureusement une description multi-échelle complète des gaz parfaits an régime visqueux.

Le charme discret des mathématiques

Le 15 octobre 2006, par András Sebő

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Après une brève introduction aux mathématiques discrètes, le lecteur sera invité à suivre la solution simple mais surprenante d’un problème issu des télécommunications qui est resté ouvert pendant plus de vingt ans, et qui l’amènera peut-être à saisir certaines idées discrètes.

Images des formes, formes des images

Le 15 octobre 2006, par Alain Trouvé

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Modéliser la variabilité des formes et faire des comparaisons quantitatives entre formes est indispensable pour tirer tout le partie des techniques modernes d’imagerie médicale. La participation des mathématiciens au vaste projet de l’anatomie numérique est sans doute une nécessité. Quelques jolis problèmes en perspective...

Géométrie et Dynamique des Surfaces Plates

Le 15 octobre 2006, par Marcelo Viana

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L’étude des surfaces plates est pleine de beaux objets et de belles idées et, malgré son caractère élémentaire, possède des relations profondes avec plusieurs autres domaines des Mathématiques. Cet article est une introduction rapide au sujet et à quelques résultats récents.

Énumération de fractions rationnelles réelles

Le 15 octobre 2006, par Jean-Yves Welschinger

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Le corps des réels n’est pas algébriquement clos, et par conséquent le nombre de solutions d’un système d’équations polynomiales à coefficients réels dépend en général fortement du choix des coefficients...

La vérité et la machine

Le 15 octobre 2006, par Benjamin Werner

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Longtemps réservée aux informaticiens et logiciens, la vérification formelle de démonstration commence à être utilisée par une fraction grandissante de la communauté mathématique.