Figure sans paroles #2.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.7

    le 30 avril à 17:44, par Hébu

    C’est une publication ancienne (on est le 30 avril 2018) — mais je découvre tardivement ces choses !

    Un triangle (ou plutôt, trois droites qui se croisent, faisant apparaître un triangle, que je baptise $ABC$ sans originalité). Trois cercles << ex-inscrits >> viennent tangenter les côtés du triangle, aux points $L$ sur $AB$, $J$ sur $BC$ et $K$ sur $AC$.

    Les segments $AJ, BK, CL$ se coupent en un point unique, noté $N$. On suppose alors que la figure veut mettre en avant cette propriété, qu’il s’agira de démontrer.

    .

    Considérons le cercle ex-inscrit qui fait face au point $C$, et qui tangente le segment $AB$ au point $L$. (J’ai noté $F$ son centre, mais c’est sans importance). Notons $R$ et $T$ les points de tangence de ce cercle avec les prolongements des côtés $AC$ et $BC$ respectivement. Puisque $CR$ et $CT$ sont les deux tangentes, $CR=CT$. De même, $BT=BL, AR=AL$. Notant comme à l’habitude $a, b, c$ les longueurs des côtés du triangle, on a donc :
    $AR=AL=CR-b$ ; $BT=BL=CR-a$

    Mais $BL+AL=c$. Ce qui aboutit à $CR=p=(a+b+c)/2$, $AR=AL=p-b$, $BT=BL=p-a$.

    Le même artifice conduit à partir des sommets $A$ et $B$ fournit : $AK=p-c$, $CK=p-a$ ; $CJ=p-b$, $BJ=p-c$.

    Incidemment, on découvre donc que $AL$ et $CJ$ ont même longueur (de même que $BL$ et $CK$, etc.)

    Reste alors à faire appel au théorème de Céva, qui assure que $AJ, BK$ et $CL$ sont concourants si et seulement si $\frac{KA}{KC}.\frac{JC}{JB}\frac{LB}{LA}=1$.

    Il suffit de porter les valeurs trouvées au-dessus pour vérifier l’égalité !

    (Ce serait sûrement plus clair si je pouvais inclure mon dessin, mais je ne sais pas le faire)

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