Figure sans paroles #2.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.9

    le 11 mars à 17:13, par Hébu

    Un triangle $ABC$ quelconque. Sur chacun des côtés, on dresse un triangle équilatéral : $ABJ$, $ACL$ et $BCK$.

    Les segments $AK$, $BL$ et $CJ$ concourent en un point $T_1$.

    .
    Dans un premier temps j’ignore $AK$ : $T_1$ est le concours de $CJ$ et $BL$.

    .
    Les angles $\widehat{JAC}$ et $\widehat{BAL}$ sont égaux (ils ont $\widehat{BAC}$ en commun) et donc les triangles $JAC$ et $BAL$ sont égaux.

    De sorte que $JC$ et $BL$ ont même longueur.

    Si je note $D$ le point de concours de $AB$ et $JC$, on remarque que les triangles $JAD$ et $BT_1D$ ont deux angles égaux : le troisième l’est aussi, soit $\widehat{BT_1J}=\pi/3$.

    Cela signifie que $J, A, T_1, B$ sont cocycliques, de même que $L, C, T_1,A$. Et donc aussi $\widehat{AT_1J}=\widehat{AT_1L}=\widehat{LT_1C}=\pi/3$.

    .
    On pourra faire la même construction en considérant $JC$ et $AK$, par exemple. Ils se croisent en un point $T'_1$, avec lequel on montrera que $JC=AK$ et que les angles joignant $T'_1$ aux points $A, J ,B,K$ et $C$ valent eux aussi $\pi/3$.

    .
    Et que $J , A, B, T'_1$, tout comme $B, K, C, T'_1$ sont cocycliques. Mais les cercles correspondant
    aux points $A, J ,B$ et $A,L,C$ étant uniques, ils n’ont que deux points d’intersection,
    de sorte qu’il faut que $T_1$ et $T'_1$ soient confondus.

    Document joint : idm2-9.jpg
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