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  le 11 mars 2020 à 17:13, par Hébu

  Un triangle $ABC$ quelconque. Sur chacun des côtés, on dresse un triangle équilatéral : $ABJ$, $ACL$ et $BCK$.

  Les segments $AK$, $BL$ et $CJ$ concourent en un point $T_1$.

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  Dans un premier temps j’ignore $AK$ : $T_1$ est le concours de $CJ$ et $BL$.

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  Les angles $\widehat{JAC}$ et $\widehat{BAL}$ sont égaux (ils ont $\widehat{BAC}$ en commun) et donc les triangles $JAC$ et $BAL$ sont égaux.

  De sorte que $JC$ et $BL$ ont même longueur.

  Si je note $D$ le point de concours de $AB$ et $JC$, on remarque que les triangles $JAD$ et $BT_1D$ ont deux angles égaux : le troisième l’est aussi, soit $\widehat{BT_1J}=\pi/3$.

  Cela signifie que $J, A, T_1, B$ sont cocycliques, de même que $L, C, T_1,A$. Et donc aussi $\widehat{AT_1J}=\widehat{AT_1L}=\widehat{LT_1C}=\pi/3$.

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  On pourra faire la même construction en considérant $JC$ et $AK$, par exemple. Ils se croisent en un point $T'_1$, avec lequel on montrera que $JC=AK$ et que les angles joignant $T'_1$ aux points $A, J ,B,K$ et $C$ valent eux aussi $\pi/3$.

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  Et que $J , A, B, T'_1$, tout comme $B, K, C, T'_1$ sont cocycliques. Mais les cercles correspondant
  aux points $A, J ,B$ et $A,L,C$ étant uniques, ils n’ont que deux points d’intersection,
  de sorte qu’il faut que $T_1$ et $T'_1$ soient confondus.

  Document joint : idm2-9.jpg
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