Figure sans paroles #2.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.8

    le 29 juin 2015 à 16:35, par amic

    Une des plus difficiles à mon avis pour l’instant.

    Après bricolage, ça colle avec le point de Nagel, et les intersections des droites avec le cercle inscrit correspondent aux points du cercle diamétralement opposés aux points de contact.

    Même avec ces constructions (que je n’ai même pas prouvées) je n’arrive pas à voir l’égalité des longueurs de manière simple.

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  • 2.8

    le 21 janvier à 11:49, par Sidonie

    Dans un triangle ABC, l’hyperbole de foyers B et C passant par A coupe (BC) en D et E qui sont les points de tangences de (BC) avec les cercles inscrit et exinscrit. En effet, si on note p le demi-périmètre de ABC on a BD=p-AC et CD=p-AB et donc DB-DC=AB-AC.
    D et E, étant sur l’axe focal, sont les sommets de l’hyperbole donc symétriques par rapport à M milieu de [BC]. Le point N de Nagel est alors sur (AE).
    .Les tangentes en A et en D se coupent en I centre du cercle inscrit puisque les tangentes à une hyperbole sont les bissectrices intérieures des rayons vecteurs.
    G est le centre de gravité dont on sait qu’il est aligné avec I et N ce qui permet de construire le point de Nagel.
    Je note P le milieu de [AD] et F le point diamétralement opposé à D.
    Dans une conique l’intersection en les tangentes en deux points est aligné avec le milieu de ces deux points et le centre de l’hyperbole donc M,I et P sont alignés.
    On considère l’homothétie de centre D et de rapport 2 : P donne A, I donne F, M donne E
    donc A, F et E sont alignés , (AE)//(IM) et EF = 2MI
    Les triangles GIM et GNA sont semblables dans un rapport 2 puisque GA = 2GM
    donc AN = 2MI = EF et il suffit d’enlever NF pour avoir AF = NE

    Document joint : fsp_2.8.jpg
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