[Rediffusion d’un article publié en février 2022]]

1, 3, 9, 27 et... l’hypercube !

Piste rouge Le 10 août 2022  - Ecrit par  Nicolás Libedinsky, Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations Voir les commentaires
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[Rediffusion d’un article publié en février 2022]]

Une suite de nombres commence par 1, 3, 9 et 27. Quel nombre vient après ?
Il serait naturel de penser à la prochaine puissance de 3, soit 81. Mais attention ! Nous ne faisons référence à aucun contexte spécifique, donc n’importe quel nombre peut apparaître. Et même lorsque le contexte est clair, notre intuition pourrait nous trahir, comme décrit ici.

Nous proposons ci-dessous un contexte géométrique dans lequel cette suite de nombres apparaît naturellement. Pour commencer, considérons un point. Celui-ci est constitué d’un seul « élément », qui correspond au chiffre 1 de la suite 1, 3, 9, 27, ...

Puis on continue avec un segment, qui est l’objet obtenu en « déplaçant » un point. Et bien, le segment se compose de 2 sommets et 1 arête ; il a donc 1 + 2 = 3 éléments.

Si nous ’’déplaçons’’ le segment dans une nouvelle (seconde) dimension, nous obtenons un carré. Celui-ci contient 4 sommets, 4 arêtes et 1 face, ce qui nous donne un total de 4+4+1 = 9 éléments.

Si nous sautons à la troisième dimension, alors un cube apparaît, qui a 8 sommets, 12 arêtes, 6 faces et 1 « face tridimensionnelle » (le cube lui-même), ce qui donne un total de 8+12+6+1 = 27 éléments.

Que ce passe t-il après ? Ceux qui connaissent cette construction devineront rapidement : l’objet qui vient après c’est l’hypercube (ou tesseract), qui est déjà apparu dans plusieurs articles d’Images des Maths, comme par exemple celui-ci. Une façon de se rapprocher de cet objet est la suivante [1] :

  • Un segment correspond à l’ensemble $[0,1]$ ;
  • Un carré n’est rien d’autre que $[0,1] \times [0,1] = [0,1]^2$ ;
  • Un cube peut être pensé comme $[0,1] \times [0,1] \times [0,1] = [0,1]^3$.

Et bien, l’hypercube n’est rien d’autre que $[0,1]^4$. C’est un objet en 4 dimensions qui, vu sur votre écran plat (en 2 dimensions), peut être représenté de cette façon [2] :

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L’hypercube se compose de 16 sommets, 32 arêtes, 24 faces bidimensionnelles, 8 ’’faces tridimensionnelles’’ et 1 grand corps quadridimensionnel (l’hypercube lui-même), qui donnent tous un total de 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81 éléments. Si vous rencontrez des difficultés pour visualiser certains d’entre eux dans la projection de l’hypercube ci-dessus, voici les 24 faces 2D :

et voici les 8 faces 3D (deux sur les trois premières images et une sur les deux dernières) :

Et les cubes de dimension supérieure ?

En général, un cube de dimension $n$ n’est rien de plus que le produit cartésien $[0,1]^n$. Combien d’éléments a-t-il ? Il est tentant de penser que cette quantité est exactement égale à $ 3^n $...

Et c’est bien le cas ! [3]

Un argument très simple pour le corroborer est le suivant : considérons l’ensemble $\{ 0, 1, ]0,1[ \}^n$, c’est-à-dire le produit de $n$ facteurs égaux à l’ensemble de 3 éléments $0, 1 $ ou $] 0, 1 [$. Évidemment, un tel produit possède $3^n$ éléments : ce sont les $n$-uplets $(a_1,\ldots,a_n)$ pour lesquels chaque $a_i$ est soit $0$, soit $1$, soit $]0,1[$. Maintenant chaque $(a_1,\ldots,a_n)$ dans $\{ 0, 1, ]0,1[ \}^n$ peut être naturellement identifié à l’élément du cube $[ 0,1 ]^n$ décrit de manière éclectique comme
\[a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n\]
Par exemple, pour $n=1$, cette identification est la plus évidente : elle identifie $0$ au sommet $0$, $1$ au sommet $1$ et $]0,1[$ à l’arête $ ]0,1[$.

Pour s’habituer à cette identification, voici les illustrations pour $n=2$ :

et pour $n=3$ :

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Somme alternée

Si au lieu d’additionner le nombre total d’éléments du cube on additionne ces nombres de façon « alternée », c’est-à-dire qu’on somme le nombre de sommets, on soustrait le nombre d’arêtes, on somme le nombre de faces, on soustrait le suivant, etc, alors quel nombre obtient-on ? Faites le test : vous obtiendrez toujours la valeur 1 !

Pourquoi est-ce toujours comme ça ? Voici une façon de le confirmer. En utilisant la formule du binôme de Newton, on développe
\[1 = (2-1)^n = 2^n - \binom{n}{1} 2^{n-1} + \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} + \binom{n}{4} 2^{n-4} + ...\]
Or, si l’on regarde l’ensemble $\{0,1,]0,1[\}^n$, on peut identifier [4] :

  • le nombre $2^{n}$ à la quantité d’éléments $(a_1,\ldots,a_n)$ où tous les $a_i$ sont égaux soit à $0$ soit à $1$ ;
  • le nombre $\binom{n}{1} 2^{n-1}$ à la quantité d’éléments $(a_1,\ldots,a_n)$ où un seul choix correspond à $]0,1[$ (et le reste ce sont des $0$ ou $1$) ;
  • le nombre $\binom{n}{2} 2^{n-2}$ à la quantité d’éléments $(a_1,\ldots,a_n)$ où 2 choix correspondent à $]0,1[$ ;
  • le nombre $\binom{n}{3} 2^{n-3}$ à la quantité d’éléments $(a_1,\ldots,a_n)$ où 3 choix correspondent à $]0,1[$ ;
  • etc.

Or, lorsqu’on prend un élément $(a_1,\ldots,a_n)$ avec exactement $k$ choix $]0,1[$ et on considère le produit $a_1 \times \cdots \times a_n$, ceci donne lieu à un élément de dimension $k$ du cube. La somme alternée d’éléments du cube suivant leur dimension correspond alors à la somme binomiale alternée en haut, et elle donc toujours égale à 1.

Attention !

Le fait que la somme alternée des nombres d’éléments soit égale à 1 n’est pas spécifique au cube : elle est valable, par exemple, pour tous les polyèdres convexes bidimensionnels. Or, ceci est une autre histoire, une histoire qui nous amène au monde de la topologie, dont on peut ressentir un peu du goût ici.

Post-scriptum :

Merci aux correcteurs Bruno Duchesne, B !gre, Baptiste Mélès...

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Notez que le point est omis de cette liste, mais peut être interprété abstraitement comme l’ensemble $[0,1]^0$.

[2Pour des belles images et des explications sur la notion de « dimension », voir ici.

[3Exercice : essayez d’illustrer un cube de dimension 5 et trouvez ses 243 éléments !

[4Rappelons que $\binom{n}{k}$ désigne le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$. Dans notre cas, ces objets sont les positions $1,2,\ldots,n$ où le facteur qui apparaît correspond à $]0,1[$. La puissance $2^{n-k}$ s’explique parce que pour les autres positions, deux entrées différentes peuvent apparaître ($0$ ou $1$).

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Pour citer cet article :

Nicolás Libedinsky, Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations — «1, 3, 9, 27 et... l’hypercube !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - Photographie d’une sculpture d’hypercube à l’entrée de l’Université de Santiago du Chili.

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