1, 3, 9, 27 y... ¡el hipercubo !

Piste rouge Le 10 août 2022  - Ecrit par  Nicolás Libedinsky, Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations
Le 12 février 2022
Article original : 1, 3, 9, 27 et... l’hypercube ! Voir les commentaires
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Si una secuencia numérica comienza con los dígitos 1, 3, 9 y 27, ¿qué número debiera seguir ? Sería natural pensar en la próxima potencia de de 3, es decir, 81. ¡Pero atención ! No estamos aludiendo a ningún contexto específico, por lo que podría aparecer cualquier número. Incluso, cuando el contexto es claro, nuestra intuición podría traicionarnos, tal como se describe aquí.

Proponemos a continuación un contexto geométrico en el cual brota naturalmente esta secuencia. Para comenzar, consideremos un punto. Este consiste de un único ’’elemento’’, que corresponde a la primera cifra 1 de la secuencia 1, 3, 9, 27,...

Luego proseguimos con un segmento, que es la figura que se obtiene al ’’desplazar’’ un punto. Pues bien, el segmento consta de 2 vértices y 1 arista, por lo que posee 1+2 = 3 elementos.

Si ’’desplazamos’’ el segmento en una nueva (segunda) dimensión, entonces obtenemos un cuadrado. Este contiene 4 vértices, 4 lados y 1 cara, lo que nos da un total de 4+4+1 = 9 elementos.

Si saltamos a la tercera dimensión, entonces aparece un cubo, el cual posee 8 vértices, 12 aristas, 6 caras y 1 ’’cara tridimensional’’ (el propio cubo), lo que da un total de 8+12+6+1 = 27 elementos.

¿Qué viene después ? Quienes tienen familiaridad con esta construcción adivinarán rápidamente : sigue el hipercubo (o teseracto), que ya ha aparecido en varios artículos de Paisajes Matemáticos, como por ejemplo este. Una manera de aproximarse a este objeto es la siguiente [1] :

  • Un segmento corresponde al conjunto $[0,1]$ ;
  • Un cuadrado no es más que $[0,1] \times [0,1] = [0,1]^2$
  • Un cubo es $[0,1] \times [0,1] \times [0,1] = [0,1]^3$

El objeto que sigue naturalmente, el hipercubo, no es otra cosa que $[0,1]^4$. Es un objeto de la dimensión 4 que, visto en tu pantalla plana (de dimensión 2), puede ser representado de esta manera [2] :

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El hipercubo consta de 16 vértices, 32 aristas, 24 caras bidimensionales, 8 ’’caras tridimensionales’’ y 1 gran cuerpo de dimensión cuatro (el propio hipercubo), todo lo cual da un total de 16+32+24+8+1 = 81 elementos. Si te cuesta visualizar algunos de estos en la proyección de arriba del hipercubo, aquí aparecen destacadas las 24 caras bidimensionales :

y aquí las 8 caras tridimensionales (dos en las tres primeras imágenes y una en las dos últimas) :

¿Y los cubos de dimensiones mayores ?

En general, un cubo $n$-dimensional no es más que el producto cartesiano $[0,1]^n$. ¿Cuántos ’’elementos’’ tiene ? Resulta tentador pensar que dicha cantidad es exactamente igual a $3^n$...

¡Y así es ! [3]

Un argumento muy sencillo para corroborarlo es el siguiente : considera el conjunto $\{ 0, 1, ]0,1[ \}$, es decir, el producto de $n$ factores iguales al conjunto de los 3 elementos $0, 1$ o $] 0, 1 [$. Evidentemente, dicho producto tiene $3^n$ elementos : se trata de las $n$-uplas $(a_1,\ldots,a_n)$ para las cuales cada $a_i$ es $0$, $1$ o $]0,1[$. Ahora bien, cada $(a_1,\ldots,a_n)$ en $\{ 0, 1, ]0,1[ \}^n$ puede ser naturalmente identificado al elemento del cubo $[ 0,1 ]^n$ descrito eclécticamente como
\[a_1 \times a_2 \cdots \times a_n\]
Por ejemplo, para $n=1$, esta identificación es la obvia : a $0$ lo identifica con el vértice $0$, a $1$ con el vértice $1$ y a $]0,1[$ con la arista $]0,1[$.

Para familiarizarte con esta identificación, estas serían sus ilustraciones para $n=2$ :

y para $n=3$ :

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Suma alternada

Si en lugar de sumar la cantidad total de elementos del cubo sumamos las cantidades correspondientes de manera ’’alternada’’, es decir, sumamos el número de vértices, restamos el de aristas, sumamos el de caras, restamos el siguiente, etc, entonces ¿qué resultado se obtiene ? Haz la prueba : ¡siempre obtendrás el valor 1 !

¿Por qué ? Esta es una forma de confirmarlo : Usando la fórmula del binomio de Newton, desarrollamos
\[1 = (2-1)^n = 2^n - \binom{n}{1} 2^{n-1} + \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} + \binom{n}{4} 2^{n-4} + ...\]
Si observamos ahora el conjunto $\{0,1,]0,1[\}^n$, podemos identificar [4] :

  • el número $2^{n}$ a la cantidad de elementos $(a_1,\ldots,a_n)$ para los que todos los $a_i$ son iguales a $0$ o a $1$ ;
  • el número $\binom{n}{1} 2^{n-1}$ a la cantidad de elementos $(a_1,\ldots,a_n)$ para los que una única entrada corresponde a $]0,1[$ (y el resto son $0$ o $1$) ;
  • el número $\binom{n}{2} 2^{n-2}$ a la cantidad de elementos $(a_1,\ldots,a_n)$ con dos entradas que corresponden a $]0,1[$ ;
  • el número $\binom{n}{3} 2^{n-3}$ a la cantidad de elementos $(a_1,\ldots,a_n)$ con tres entradas iguales a $]0,1[$ ;
  • etc.

Ahora bien, cuando consideramos un elemento $(a_1,\ldots,a_n)$ con exactamente $k$ entradas $]0,1[$ y consideramos el producto $a_1 \times \cdots \times a_n$, este no es sino un elemento de dimensión $k$ del cubo. La suma alternada de elementos del cubo de acuerdo a su dimensión corresponde entonces a la suma binomial alternada de más arriba, y por tanto es igual a 1.

Advertencia

El hecho de que la suma alternada de la cantidad de elementos sea igual a $1$ no es algo específico del cubo, sino que vale, por ejemplo, para todos los poliedros convexos bidimensionales. Pero esto es otra historia, una que nos conecta con la topología y de la cual algo se puede vislumbrar aquí.

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Observa que el punto queda fuera de este listado, pero puede interpretarse abstractamente como el conjunto $[0,1]^0$.

[2Más explicaciones con bellas imágenes sobre esta noción de ’’dimensión’’ pueden ser enlazadas desde aquí.

[3Como ejercicio, ¡intenta ilustrar un cubo de dimensión 5 y ubicar en él sus 243 elementos !

[4Recuerda que $\binom{n}{k}$ denota la cantidad de formas de elegir $k$ objetos de entre $n$. En nuestro caso, estos objetos son las posiciones $1,2,\ldots,n$ en las que el factor escogido es $]0,1[$. La potencia $2^{n-k}$ aparece porque en las otras posiciones se puede escoger dos entradas diferentes ($0$ o $1$).

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Pour citer cet article :

— «1, 3, 9, 27 y... ¡el hipercubo !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - Fotografía de la escultura de un hipercubo en la entrada de la Universidad de Santiago de Chile.

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