Figure sans paroles #4.1.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.1.2

    le 1er mai 2020 à 00:14, par Sidonie

    O est le centre circonscrit à ABC. H en est l’orthocentre. M est le milieu de [BC]. D et E sont les pieds des hauteurs issues de B et C. (AO) coupe (BC) en I. (AH) coupe (DE) en G. Il s’agit de prouver (MH) // (IG).

    La demi-droite [MH) coupe le cercle en K. (AK) et (BC) sont sécantes en P. F est diamétralement opposé à A.

    (AF) est un diamètre donc (FB) $\bot$ (AB) et (FC) $\bot$ (AC) donc (FB) // (CE) et (FC) // (BD) d’où FBHC est un parallélogramme et M, milieu de [BC] l’est aussi pour (FH) et F,G,H et K sont alignés.

    (AF) est toujours un diamètre donc (AK) $\bot$ (HK) et la puissance de P permet d’écrire PB.PC = PK.PA

    Le cercle de diamètre [BC] passe par D et E de même que le cercle de diamètre [AH] qui passe aussi par K. L’égalité PB.PC =PK.PA montre que P a même puissance par rapport à ces deux cercles, P est donc sur leur axe radical (DE).

    On sait que le diamètre d’un cercle circonscrit issu d’un sommet est perpendiculaire à la droite joignant les pieds des hauteurs issues des deux autres sommets donc (PG) $\bot$ (AI) et comme H est l’orthocentre (AG) $\bot$ (BI).

    Dans le triangle API, (PG) et (AG) sont deux hauteurs donc (IG) est la troisième hauteur.

    (MH) $\bot$ (AP) et (IG) $\bot$ (AP) donc (MH) // (IG) ... QED

    Document joint : fsp_4.1.2.jpg
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