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Figure sans paroles #4.1.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.4

    le 27 décembre 2019 à 19:35, par Sidonie

    Sur le cercle (C) circonscrit au triangle ABC on place D qu’on projette orthogonalement en E et F sur (AB) et (AC) . M et N sont les milieux de [BC] et [EF]. Il s’agit de démontrer que (DN) et (MN) sont perpendiculaires. En fait la propriété est plus générale et j’ajoute un point G sur [EC] que je projette en H et I sur [BC] et [EF] parallèlement à (AB) et (AC) avec EG/EC = BH/BC = EI/EF
    Le cercle (C’) de diamètre [AD] passe par E et F à cause des angles droits.
    Dans (C) on a $\widehat {BDC}$ = $\widehat {BAC}$ et dans (C’) on a $\widehat {EDF}$= $\widehat {BAC}$ donc $\widehat {BDC}$ = $\widehat {EDF}$
    Dans (C) on a $\widehat {BCD}$ = $\widehat {BAD}$ et dans (C’) on a $\widehat {DFE}$= $\widehat {BAD}$ donc $\widehat {BCD}$ = $\widehat {DFE}$
    Les triangles DBC et DEF sont semblables et la similitude de DEF à DBC se décompose en une rotation d’angle $\widehat {FDC}$ suivie d’une homothétie de rapport DC/DF.
    La similitude conserve les rapports donc H est l’image de I donc $\widehat {IDH}$ = $\widehat {FDC}$ et DI/DH = DF/DC ce qui fait de DHI un triangle semblable au triangle rectangle DCF donc (DI) et perpendiculaire à (IH). Si G est au milieu de [CE] alors I et H deviennent N et M.

    Document joint : fsp_4.1.4.jpg
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