Figure sans paroles #4.1.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.5

    le 17 septembre à 18:41, par Hébu

    Dans le triangle quelconque $ABC$, on mène les hauteurs, $AH$, $BJ$ et $CK$. Du point $H$, on abaisse les perpendiculaires sur $AB$ (segment $HD$), sur $AC$ (segment $HG$), sur $BJ$ (segment $HE$) et $CK$ (segment $HF$).

    .

    Les points $D, E, F, G$ sont alignés.

    .

    Les points $B, D, E, H$ sont cocycliques (angles droits en $D$ et $E$). Le cercle qui les joint a $BH$ comme diamètre. Pour les mêmes raisons, $H, F, G, C$ sont cocycliques, et le cercle correspondant, de diamètre $CH$, est tangent au premier en $H$.

    .

    La puissance de $A$ par rapport à ces cercles s’écrit $AD\times AB=AH^2$, et $AG\times AC=AH^2$. On a donc $AD\times AB=AG\times AC$,
    ou encore$AD/AG=AC/AB$ : les triangles $ADG$ et $ACB$ sont semblables.

    Les angles $\widehat{ADG}$ et $\widehat{ACB}$ sont égaux, on écrira $\widehat{ADG}=\widehat{C}$ pour abréger.

    .

    Maintenant, considérons le point $E$. $\widehat{ADE}=\pi-\widehat{BDE}$ ; mais $\widehat{BDE}=\pi/2+\widehat{HDE}=\pi/2+\widehat{HBE}$ (angles inscrits), soit $\widehat{BDE}=\pi-\widehat{C}$.

    D’où $\widehat{ADE}=\widehat{C}$, soit $\widehat{ADE}=\widehat{ADG}$. Le point $E$ se trouve sur le segment $DG$.

    .

    Un raisonnement analogue mené à partir de $G$ montre que $\widehat{AGD}=\widehat{AGF}=\widehat{B}$ — et donc $F$ se trouve, lui aussi, sur le segment $DG$. \qed

    .

    Remarque. On peut trouver d’autres ensembles de points cocycliques. Ainsi $D, K, F$ et $H$, mais aussi $H, E, J, G$, ou $A, D, H$ et $G$, et $B, K, J, C$ (évident). Plus surprenant, $B, D, G, C$, sont cocycliques, puisque $\widehat{BDG}+\widehat{C}=\pi$.

    Document joint : idm4-1-5.jpg
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