Figure sans paroles #4.1.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.5

    le 17 septembre 2018 à 18:41, par Hébu

    Dans le triangle quelconque $ABC$, on mène les hauteurs, $AH$, $BJ$ et $CK$. Du point $H$, on abaisse les perpendiculaires sur $AB$ (segment $HD$), sur $AC$ (segment $HG$), sur $BJ$ (segment $HE$) et $CK$ (segment $HF$).

    .

    Les points $D, E, F, G$ sont alignés.

    .

    Les points $B, D, E, H$ sont cocycliques (angles droits en $D$ et $E$). Le cercle qui les joint a $BH$ comme diamètre. Pour les mêmes raisons, $H, F, G, C$ sont cocycliques, et le cercle correspondant, de diamètre $CH$, est tangent au premier en $H$.

    .

    La puissance de $A$ par rapport à ces cercles s’écrit $AD\times AB=AH^2$, et $AG\times AC=AH^2$. On a donc $AD\times AB=AG\times AC$,
    ou encore$AD/AG=AC/AB$ : les triangles $ADG$ et $ACB$ sont semblables.

    Les angles $\widehat{ADG}$ et $\widehat{ACB}$ sont égaux, on écrira $\widehat{ADG}=\widehat{C}$ pour abréger.

    .

    Maintenant, considérons le point $E$. $\widehat{ADE}=\pi-\widehat{BDE}$ ; mais $\widehat{BDE}=\pi/2+\widehat{HDE}=\pi/2+\widehat{HBE}$ (angles inscrits), soit $\widehat{BDE}=\pi-\widehat{C}$.

    D’où $\widehat{ADE}=\widehat{C}$, soit $\widehat{ADE}=\widehat{ADG}$. Le point $E$ se trouve sur le segment $DG$.

    .

    Un raisonnement analogue mené à partir de $G$ montre que $\widehat{AGD}=\widehat{AGF}=\widehat{B}$ — et donc $F$ se trouve, lui aussi, sur le segment $DG$. \qed

    .

    Remarque. On peut trouver d’autres ensembles de points cocycliques. Ainsi $D, K, F$ et $H$, mais aussi $H, E, J, G$, ou $A, D, H$ et $G$, et $B, K, J, C$ (évident). Plus surprenant, $B, D, G, C$, sont cocycliques, puisque $\widehat{BDG}+\widehat{C}=\pi$.

    Document joint : idm4-1-5.jpg
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    • 4.1.5

      le 28 décembre 2019 à 13:28, par Sidonie

      Bonjour, je viens de résoudre le 4.1.6 assez simplement et à l’aide d’un résultat assez connu il résout aussi le 4.1.5 ( et lycée de Versailles d’ailleurs ).

      Dans un triangle ABC dont les pieds des hauteurs sont D,E,F les hauteurs de ABC sont les bissectrices de DEF (je joint une figure de justification) avec pour conséquence que les symétriques de D par rapport aux 2 autres hauteurs appartiennent à (EF).

      Il suffit alors d’une homothétie de centre D et de rapport 2 (ou 0,5) pour passer d’une figure à l’autre.

      Document joint : fsp_4.1.5.jpg
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