Figure sans paroles #4.1.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.9

    le 6 juin à 17:35, par Hébu

    Dans un triangle $ABC$, on construit le cercle circonscrit sur lequel on pose le point $D$, milieu de l’arc $BC$ (arc ne contenant pas le point $A$). Le segment $AD$ coupe $BC$ au point $E$, d’où on mène la perpendiculaire $EF$ sur $AC$, qui coupe la circonférence en un point $G$.

    Depuis $A$ on mène une perpendiculaire à $BG$, qui coupe $BC$ en $H$ et $BG$ en $J$.

    Les points $G$, $H$ et $D$ sont alignés.

    .
    La droite $(AD)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$ (puisqu’elle découpe deux arcs égaux), et pour la même raison $(GD)$ est bissectrice de l’angle $BGC$.

    Les triangles $JAB$ et $JGC$ sont semblables (angles égaux.

    Les points $A,G,J,F$ cocycliques : $\widehat{AFJ}=\widehat{AGJ}=\widehat{AGB}=c$. Donc $(JF)$ parallèle à $(BC)$.

    J’appelle $N$ le point où $(GD)$, bissectrice de $\widehat{BGC}$ coupe $AC$. De même, $(AD)$ coupe $(BG)$ en $M$.

    les triangles $KAM$ et $KGN$ sont également semblables (angles égaux)
    donc $KM/KN=KA/KG=KJ/KF$ : à nouveau, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, et les points $A,M,N,G$ sont cocycliques (l’angle $\widehat{AMN}=\widehat{AEC}=180-(b+a/2)=180-\widehat{AGD}$).

    $(GD)$ coupe $(BC)$ en $H$. De sorte que, à leur tour $A,E,H,G$ sont cocycliques (même condition de supplémentarité).

    Sur ce dernier cercle, $\widehat{EGH}=90-\widehat{GNA}=90-\widehat{GMA}=\widehat{MAJ}$. C’est à dire que $(AJ)$ coupe $(BC)$ en un point $H'$, tel que $\widehat{EAH'}=\widehat{EGH}$, $H$ et $H'$ sont donc confondus.

    .
    On doit pouvoir faire plus ramassé. Mais j’aime bien cette accumulation de cercles et de parallèles.

    Document joint : idm4-1-9.jpg
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