Une anecdote

Voici, en substance, ce qu’affirma le mathématicien Allemand
Michael Rapoport, dans un
français parfait, au cours d’un exposé qui ne l’était pas moins,
à la conférence internationale donnée en l’honneur de Gérard Laumon, à
Orsay la semaine du 25 juin 2012. Il évoquait une contribution très importante des
mathématiciens Pierre Deligne
et Vladimir Drinfeld, à la géométrie arithmétique.

Deligne et Drinfeld
ont défini l’équivalent $p$-adique du demi-plan supérieur,
celui qu’en France (et c’est sans doute le seul pays où on dit cela), on appelle
demi-plan de Poincaré.

Rires dans la salle...

Qu’on ne s’y trompe pas, cette phrase de Rapoport est
une boutade plaisante. Mais quand même : ne seraient-ils pas un peu nationalistes les
mathématiciens français (et les autres) ? Voici quelques considérations badines à ce sujet.

Mais d’abord, quelques précautions : il n’est pas question d’aborder ici les choses de
façon très sérieuse. Faute de compétences, nous n’allons pas discuter la difficile question
du nationalisme et des mathématiques, ni celle de « qui a vraiment démontré quoi » en
mathématiques. Toutes les attributions des énoncés mathématiques seraient, de toute
manière,
inexactes, d’après la loi de Stigler . Nous nous concentrerons sur le constat pratique suivant : quand
nos collègues étrangers prennent un poste en France [1], ils constatent parfois que ce qu’ils connaissent sous le nom de
formule de Machin, s’appelle en France théorème de Bidule. Voici quelques exemples
collectés auprès de collègues.

Connaissez-vous le triangle de Tartaglia ?

Avant d’en venir au triangle du titre, à tout seigneur, tout honneur, les théorèmes de Thalès et Pythagore.
Si le nom théorème de
Pythagore, semble universel, ce n’est pas le cas du théorème de Thalès (de Thalès de Milet), qui devient « Strahlensatz » en allemand,
i.e. théorème des rayons et « intercept theorem ». « Thalès theorem » désigne un tout
autre énoncé en anglais.

Le triangle de ?

Quant au triangle de Tartaglia, c’est le nom italien du triangle de Pascal français,
anglais, allemand, grec et russe.

Une compensation pour Tartaglia car il semble
que c’est à Tartaglia que l’on doive attribuer
les formules dites de Cardan qui permettent de résoudre l’équation polynomiale du 3e
degré...

Le théorème d’existence et d’unicité de la solution d’une équation différentielle dit de
Cauchy-Lipschitz, Cauchy un Français, Lipschitz, un Allemand, est à peu près partout
ailleurs énoncé comme de Picard (un Français)-Lindelöf (un Finlandais). Notons sur cet
exemple que même les Allemands utilisent cette dénomination, ce qui leur fait manquer
l’occasion d’attribuer un théorème important à l’un de leurs compatriotes.

Le théorème de d’Alembert-Gauss, un Français et un Allemand,
qui dit que tout polynôme à coefficients complexes s’annule
dans le plan complexe, est
plus souvent nommé théorème fondamental de l’algèbre dans les autres langues, même en
allemand. En l’occurrence, l’énoncé du théorème revient à d’Alembert, ainsi qu’une
démonstration fausse de cet énoncé, corrigée par Gauss.

Le théorème d’algèbre linéaire de Rouché-Fontené devient Kronecker-Capelli en Russie, Rouché-Capelli en Italie et
dans les pays anglophones, Rouché-Frobenius en Espagne et dans les pays d’Amérique latine.

Le demi-plan de Poincaré

Venons-en maintenant à la Poincaré-mania soulignée par Rapoport. En français, la notion que Poincaré [2] introduit dans
« analysis situs » est devenue « groupe de Poincaré » et partout ailleurs, groupe fondamental, et
est un objet tout à fait primordial en géométrie. Le demi-plan de Poincaré, en général
noté $H$ (H pour half-plane et non pas pour Henri Poincaré) est l’ensemble des nombres
complexes de partie imaginaire strictement positive. Quoiqu’assez simple à définir, cet objet est
immensément riche, que ce soit du point de vue arithmétique ou géométrique. Bref, ailleurs
qu’en France, il est tout à fait logiquement appelé « demi-plan supérieur ». Il est représenté sur la
figure ci-dessus. L’axe horizontal ne fait pas partie de ce demi-plan. Le demi-cercle et
la demi-droite verticale sont des courbes particulières de ce demi-plan [3].

Quant à la formule de Machin,
au contraire du théorème de Bidule, elle existe bel et bien
et permet de calculer les décimales de $\pi$. $\pi$, $3,14$, $14$ juillet. Place à la fête, aux
feux d’artifice, et à l’étape du Tour de France
du jour, où les Français tenteront de se
distinguer.