1902, un théorème pour la postérité ?

Robert de Montessus de Ballore et les approximants de Padé

Piste noire Le 28 juin 2017  - Ecrit par  Hervé Le Ferrand Voir les commentaires

Robert de Montessus de Ballore (1870-1937) a-t-il réussi un « coup de maître » en publiant en 1902 dans le Bulletin de la Société Mathématique de France (Montessus (de)-1902) [1] un théorème de convergence pour certaines fractions continues algébriques ?

Robert de Montessus de Ballore en 1914

La question est raisonnable : Robert de Montessus a été rapidement cité pour ce théorème et plus d’un siècle après sa parution, des auteurs se réfèrent, voire généralisent encore ce résultat, voir par exemple GGT-2013, Lubinsky-2014, Bosuwan-2016, Matiyasevich-2016. Ajoutons que l’on trouve le résultat de Robert de Montessus dans d’autres domaines, comme la physique mathématique et l’acoustique SS-2006, RR-2015.
Si Robert de Montessus a prouvé d’autres théorèmes sur les fractions continues algébriques, il ne s’est pas non plus cantonné à ce seul domaine. En 1908, il publie des Leçons élémentaires sur le calcul des probabilités ouvrage original dont un des chapitres est consacré à la théorie de la spéculation de Louis Bachelier (1870-1946), que ce dernier a développée dans sa célèbre thèse soutenue en 1900. On trouve aussi dans ce livre une démonstration inédite de Charles de La Vallée Poussin du théorème de Bernoulli (loi faible des grands nombres) [2].

En 1917, Camille Jordan (1838-1922) le fait entrer au comité de rédaction du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. La même année naît le projet d’éditer un annuaire des laboratoires et des établissements d’enseignement supérieur du monde entier : l’Index Generalis Universitatum et eminentium Scholarum. Robert de Montessus est encouragé alors dans cette entreprise par Albert Gauthier-Villars (1861-1918). Malgré la disparition d’Albert Gauthier-Villars au combat, le premier Index est publié en 1919. Professeur à l’Université Catholique de Lille durant la Belle Époque, il intègre en 1924 l’Office National de Météorologie où il enseigne la Statistique et mène des recherches en Statistique Appliquée. Il collabore à cette époque avec le mathématicien vénézuélien Francisco José Duarte (1883-1972) sur l’élaboration de tables de logarithmes.

Esprit curieux, Robert de Montessus s’intéresse à différents domaines des Sciences et publie aussi des réflexions sur la Science. Il écrit notamment dans la Revue du Mois créée en 1906 par Emile Borel et son épouse l’écrivaine Camille Marbo, fille de Paul Appell (1855-1930), et dans la Revue générale des sciences pures et appliquées.

Lettre de Emile Borel (fonds Robert de Montessus, UPMC)

Il est aussi un des premiers auteurs de la revue L’Enseignement Mathématiques : son article intitulé « Les fondements de l’arithmétique moderne » paraît en 1899 dans le premier numéro du journal [3].

Depuis Lille, il noue des liens très étroits avec plusieurs scientifiques belges et est membre de la Société Scientifique de Bruxelles. Robert de Montessus a des contacts privilégiés avec Paul Mansion (1844-1919), Charles de La Vallée Poussin (1866-1962) et Maurice Alliaume (1882-1931).

Robert de Montessus était très proche de son frère ainé Fernand de Montessus de Ballore (1851-1923) qui est considéré comme un des pères de la sismologie moderne, cf. LFM-2011, Poirier-2015.

Tout au long de sa carrière, Robert de Montessus correspond et collabore avec de nombreux scientifiques comme l’atteste sa riche correspondance scientifique (1897-1937) qui se trouve à présent archivée à l’Université Pierre et Marie Curie. Un des ses premiers correspondants, en 1896, est Giuseppe Peano (1858-1932) :

Le théorème de Montessus

En 1902, Robert de Montessus, qui a obtenu en Octobre 1901 la licence ès-Sciences Mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris tout en enseignant dans une institution religieuse à Senlis, débute une thèse sous la direction de Paul Appell [4].

Paul Appell (source : Gallica)

Dans le tome 30 du Bulletin de la Société Mathématique de France, Robert de Montessus pose deux questions :

Une suite de réduites consécutives d’un tableau de fractions normales définit-elle une fonction identique à la fonction définie par la série qui a donné naissance au tableau et, dans l’affirmative, la fraction continue correspondant à la suite prolonge-t-elle la série en dehors de son cercle de convergence ?

Robert de Montessus se place dans le cas particulier d’une fonction méromorphe, analytique à l’origine, et choisit comme suite de réduites, les éléments d’une ligne de la table de Padé. Qu’est-ce qu’une fraction continue algébrique ? Qu’est-ce qu’une table de Padé ? Qu’est-ce qu’une réduite ? Regardons cela sur deux exemples. En 1768 Heinrich Lambert obtient le développement suivant de $\tan(x)$ [5] :
\[ \tan(x)=\frac{x}{1-\frac{x^{2}}{3-\frac{x^{2}}{5-\frac{x^{2}}{7-\frac{x^{2}}{9-\cdots}}}}}. \]
Le membre de droite dans l’égalité précédente est une fraction continue algébrique. Si on s’arrête dans le développement ci-dessus, on obtient une réduite. Le logiciel de calcul formel Maple permet de faire certains développements en fractions continues (algébriques ou non). Avec la commande cfrac, on obtient :
\[ \exp(z)=1+\frac{z}{1+\frac{z}{-2+\frac{z}{-3+\frac{z}{2+\cdots}}}}. \]
Cette dernière expression est un exemple de développement en fraction continue qui entre typiquement dans la théorie des Approximants de Padé du nom de Henri Padé (1863-1955), élève de Charles Hermite (1822-1901).

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Henri Padé

En effet, les réduites de la fraction continue ne sont rien d’autre que des approximants de Padé de la fonction exponentielle. Si $f(z)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_{i}z^{i}$ est une fonction développable en série entière à l’origine, l’approximant de Padé $\left\lbrack L/M\right \rbrack(z)$ de $f$ est une fraction rationnelle dont le numérateur a un degré inférieur à $L$ et le dénominateur un degré inférieur à $M$, et dont le développement en série entière en $0$ coïncide jusqu’à l’ordre $z^{L+M}$ inclus avec celui de $f$. On écrit cela :
\[ f(z)-\left\lbrack L/M\right \rbrack(z)=O\left(z^{L+M+1}\right). \]
Par exemple, l’approximant $\left\lbrack 3/4\right\rbrack$ de la fonction exponentielle :
\[ \exp(z)=1+z+\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3}+\frac{1}{24}z^{4}+\frac{1}{120}z^{5}+\frac{1}{720}z^{6}+\frac{1}{5040}z^{7}+\frac{1}{40320}z^{8}+\cdots \]
est :
\[ \frac{1+\frac{3}{7}z+\frac{1}{14}z^{2}+\frac{1}{210}z^{3}}{1-\frac{4}{7}z+\frac{1}{7}z^{2}-\frac{2}{105}z^{3}+\frac{1}{840}z^{4}} \]
dont le développement en série entière à l’origine est
\[ 1+z+\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3}+\frac{1}{24}z^{4}+\frac{1}{120}z^{5}+\frac{1}{720}z^{6}+\frac{1}{5040}z^{7}+\frac{17 }{705600}z^{8}+\cdots \]

Un exemple de calcul

On peut calculer de façon élémentaire l’approximant de Padé $\left\lbrack 1/2\right\rbrack$ de la fonction $\exp$. Si
\[ \frac{p(z)}{q(z)}=\frac{a_{0}+a_{1}z}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}} \]
est cet approximant, la condition
\[ \exp(z)-\left\lbrack 1/2\right \rbrack(z)=O\left(z^{4}\right) \]
se réécrit
\[\exp(z)q(z)-p(z)=O\left(z^{4}\right). \]
On développe ensuite en série entière le terme de droite, soit :
\[(b_{0}-a_{0})+(b_{1}+b_{0}-a_{1})z+(b_{2}+b_{1}+\frac{1}{2}b_{0})z^{2}+(b_{2}+\frac{1}{2}b_{1}+\frac{1}{6}b_{0})z^{3}+\cdots \]
Les coefficients devant les puissances de $z$ jusqu’à l’exposant $3$ doivent être nuls :
\[ \left\lbrace \begin{array}{rcl} b_{0}-a_{0}&=&0\\ b_{1}+b_{0}-a_{1}&=&0 \end{array}\right. \quad \left\lbrace \begin{array}{rcl} b_{2}+b_{1}+\frac{1}{2}b_{0}&=&0\\ b_{2}+\frac{1}{2}b_{1}+\frac{1}{6}b_{0}&=&0 \end{array}\right. \]
On commence par résoudre le second système en prenant $b_{0}=1$. On obtient :
\[ \left\lbrack 1/2\right\rbrack(z)=\frac{1+\frac{1}{3}z}{1-\frac{2}{3}z+\frac{1}{6}z^{2}}. \]

Ces approximants sont disposés dans un tableau à double entrée appelé table de Padé [6]. Le choix d’un « bon » déplacement dans la table de Padé [7] génère une fraction continue algébrique dont les réduites sont justement les approximants alors choisis.

Note historique

A partir du milieu du XVIIIe siècle, après l’utilisation par Leonhard Euler (1707-1783) d’une fraction continue algébrique pour « sommer » la série $1!-2!+3!-\cdots$ (Brezinski-91), puis durant tout le XIXe siècle, les travaux sur les fractions continues algébriques vont se multiplier. Citons notamment les travaux de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) sur les fractions continues arithmétiques et algébriques (Les œuvres de Lagrange sont numérisées et consultables sur Gallica). C. Brezinski (page 139 Brezinski-1991), en commentant le mémoire de Lagrange Sur l’usage des fractions continues dans le calcul intégral [8] parle de « certificat de naissance des approximants de Padé ». En effet, non seulement Lagrange développe sous forme de fraction continue algébrique la fonction $(1+x)^{m}$, mais il remarque que les réduites successives ont des développements en série entière qui coïncident jusqu’à un ordre donné avec celui de $(1+x)^{m}$. L’étude systématique des approximants de Padé revient à Henri Padé. Dans sa thèse Padé-1892, il définit, puis étudie, le tableau formé par ces fractions. Il met en particulier en évidence la structure en blocs du tableau. Henri Padé lie fractions continues algébriques et approximants de Padé. Sa thèse explore la question centrale suivante : partant d’une suite de fractions rationnelles, comment construit-on une fraction continue algébrique dont les réduites sont justement les fractions de départ ? Enfin, Padé consacre la fin de sa thèse au cas de la fonction exponentielle. Il dédie sa thèse à Charles Hermite (1822-1901) qui utilisa des approximants de Padé dans sa célèbre démonstration de la transcendance de $e$ (1873).

Brouillon de Robert de Montessus (fonds Robert de Montessus, UPMC)

En réponse aux questions posées en introduction à son article, Robert de Montessus prouve le théorème :

[...] qu’étant donnée une série de Taylor représentant une fonction $f(x)$ dont les $p$ pôles les plus rapprochés de l’origine sont intérieurs à un cercle $(C)$ lui-même intérieur aux pôles suivants, chaque pôle multiple étant compté pour autant de pôles simples qu’il existe d’unités dans son degré de multiplicité, la fraction continue déduite de la ligne horizontale de rang $p$ du Tableau de M. Padé, ce tableau étant composé de réduites normales, représente la fonction $f(x)$ dans un cercle de rayon $\vert \alpha_{p+1}\vert$, où $\alpha_{p+1}$ est l’affixe du pôle le plus rapproché de l’origine parmi tous ceux qui sont extérieurs au cercle $(C)$.

Robert de Montessus considère une fonction méromorphe, analytique à l’origine, dont le développement en $0$ est donné par $y$ :
\[ y=s_{0}+s_{1}x+\cdots +s_{h}x^{h}+\cdots\quad (s_{0}\neq 0), \]
L’approximant de Padé $\left\lbrack n/p\right\rbrack$ de $y$ est noté
$ \frac{U_{p}^{n}}{V_{n}^{p}} $
où $U_{p}^{n}$ et $V_{n}^{p}$ sont des polynômes en $x$ de degrés respectifs $n$ et $p$. La table est supposée normale.

Table de Padé normale

La table de Padé est donc :
\[ \begin{array}{cccccc} \frac{U_{0}^{0}}{V_{0}^{0}}&\frac{U_{0}^{1}}{V_{1}^{0}}&\frac{U_{0}^{2}}{V_{2}^{0}}&\cdots&\frac{U_{0}^{n}}{V_{n}^{0}}&\cdots\\ \frac{U_{1}^{0}}{V_{0}^{1}}&\frac{U_{1}^{1}}{V_{1}^{1}}&\frac{U_{1}^{2}}{V_{2}^{1}}&\cdots&\frac{U_{1}^{n}}{V_{n}^{1}}&\cdots\\ \frac{U_{2}^{0}}{V_{0}^{2}}&\frac{U_{2}^{1}}{V_{1}^{2}}&\frac{U_{2}^{2}}{V_{2}^{2}}&\cdots&\frac{U_{2}^{n}}{V_{n}^{2}}&\cdots\\ \vdots& \vdots& \vdots& &\vdots& \\ \frac{U_{p}^{0}}{V_{0}^{p}}&\frac{U_{p}^{1}}{V_{1}^{p}}&\frac{U_{p}^{2}}{V_{2}^{p}}&\cdots&\frac{U_{p}^{n}}{V_{n}^{p}}&\cdots \end{array} \]
La table est dite normale si pour chaque couple d’entiers l’on a existence et unicité de l’approximant de Padé et que celui-ci n’apparaît qu’une seule fois dans la table. Dans son article, Robert de Montessus explique que l’étude d’une suite de fractions bien choisies dans la table de Padé revient à l’étude d’une fraction continue. Il donne les conditions sur les degrés des numérateurs et des dénominateurs des fractions choisies dans la table de Padé pour qu’il en soit ainsi. Ainsi si chacune des fractions est plus avancée que la précédente, $\displaystyle{\frac{U_{p}^{n}}{V_{n}^{p}}}$ est plus avancée que $\displaystyle{\frac{U_{q}^{m}}{V_{m}^{q}}}$ si $p+n>m+q$, la suite de fractions est bien la suite des réduites d’une fraction continue algébrique. Il simplifie le problème en faisant l’hypothèse que les fractions de la suite doivent être toutes consécutives. Cela signifie que si
\[ \frac{U_{i}}{V_{i}}=\frac{U_{p}^{n}}{V_{n}^{p}},\ \frac{U_{i+1}}{V_{i+1}}=\frac{U_{q}^{m}}{V_{m}^{q}} \]
alors $p+n+1=q+m$ ou $p+n+2=q+m$.

Il se place dans la situation particulière des lignes du tableau :
\[ \displaystyle{\frac{U_{p}^{0}}{V_{0}^{p}}},\ \displaystyle{\frac{U_{p}^{1}}{V_{1}^{p}}},\ \ldots,\displaystyle{\frac{U_{p}^{n}}{V_{n}^{p}}},\ \ldots. \]
L’étude de la convergence de la fraction continue qui, par définition, est celle de la suite de ses réduites, est en fait l’étude de la convergence de la série associée à cette suite :
\[ \frac{U_{p}^{0}}{V_{0}^{p}}+\left( \frac{U_{p}^{1}}{V_{1}^{p}}-\frac{U_{p}^{0}}{V_{0}^{p}}\right)+ \left( \frac{U_{p}^{2}}{V_{2}^{p}}-\frac{U_{p}^{1}}{V_{1}^{p}}\right)+\cdots \]
Robert de Montessus s’appuie pour conclure sur des résultats de Jacques Hadamard (1865-1963) (Hadamard-1892) (Hadamard-1901), sur le comportement asymptotique de polynômes dits de Hadamard et sur celui des déterminants de Hermann Hankel (1839-1873) associés à la série $y$ (singularités polaires).

Déterminants de Hankel et polynômes de Hadamard

L’expression générale des déterminants de Hankel est :
\[ H_{p}^{m}=\left\vert \begin{array}{cccc} s_{m}&s_{m+1}&\cdots&s_{m+p-1}\\ s_{m+1}&s_{m+2}&\cdots&s_{m+p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ s_{m+p-1}&s_{m+p}&\cdots&s_{m+2p-2} \end{array}\right\vert. \]
Ils apparaissent naturellement quand on traduit, en terme de système linéaire, une condition du type :
\[ f(z)-\left\lbrack L/M\right \rbrack(z)=O\left(z^{L+M+1}\right) \]
Les inconnues du système sont les coefficients du dénominateur de l’approximant (ou de la réduite). Quant aux polynômes dits de Hadamard, ils ont été en fait déjà introduits par Carl Jabobi (1804-1851) en 1846 dans « Uber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function », J. Reine Angew. Math. Leur expression générale est :
\[ \frac{\left\vert \begin{array}{ccccc} s_{m}&s_{m+1}&\cdots&s_{m+p-1}&1\\ s_{m+1}&s_{m+2}&\cdots&s_{m+p}&u\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ s_{m+p-1}&s_{m+p}&\cdots&s_{m+2p-2}&u^{p-1}\\ s_{m+p}&s_{m+p}&\cdots&s_{m+2p-1}&u^{p} \end{array}\right\vert} {\left\vert \begin{array}{cccc} s_{m}&s_{m+1}&\cdots&s_{m+p-1}\\ s_{m+1}&s_{m+2}&\cdots&s_{m+p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ s_{m+p-1}&s_{m+p}&\cdots&s_{m+2p-2} \end{array}\right\vert}. \]

C’est ici que se trouve la clé du résultat. Robert de Montessus fait le lien entre les dénominateurs des approximants de Padé considérés : les $V_{n}^{p}$ ne sont rien d’autre que des polynômes de Hadamard de même degré $p$. Or, si $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots, \alpha_{p}, \alpha_{p+1},\ldots$ désignent les pôles de la fonction $f$ et en faisant l’hypothèse que
\[ \vert \alpha_{1}\vert\leq \vert \alpha_{2}\vert\leq \cdots \leq \vert \alpha_{p}\vert<\vert \alpha_{p+1}\vert\leq \vert \alpha_{p+2}\vert\leq\cdots, \]
Hadamard a montré que les $V_{n}^{p}(x)$ tendent vers le polynôme
\[ V^{p}(x)=\left(1-\frac{x}{\alpha_{1}}\right)\left(1-\frac{x}{\alpha_{2}}\right)\times\cdots\times\left(1-\frac{x}{\alpha_{p}}\right) \]
Robert de Montessus poursuit alors son raisonnement sur la série liée à la fraction continue : c’est une série de fractions rationnelles dont on connaît le comportement asymptotique des dénominateurs, ce qui permet de ramener l’étude de la convergence à celle d’une série exprimée sans ces dénominateurs. La convergence étant établie, il ne lui reste qu’à montrer que la limite est bien la fonction méromorphe.

Brouillon de Robert de Montessus (fonds Robert de Montessus, UPMC)

Formulation du théorème par E.B. Saff en 1972

Soixante-dix ans plus tard, le mathématicien américain E.B. Saff (Saff-1972) écrit :

Let $f(z)$ be analytic at $z=0$ and meromorphic with precisely $\nu$ poles (multiplicity counted) in the disk $\vert z\vert <\tau$. Let $D$ the domain obtained from $\vert z\vert <\tau$ by deleting the $\nu$ poles of $f(z)$. Then, for all $n$ sufficiently large, there exists a unique rational function $R_{n,\nu}$, of type $(n,\nu)$, which interpolates to $f(z)$ in the point $z=0$ considered of multiplicity $n+\nu+1$. Each $R_{n,\nu}$ has precisely $\nu$ finite poles and, as $n\to\infty$, these poles approach, respectively, the $\nu$ poles of $f(z)$ in $\vert z\vert <\tau$. The sequence $R_{n,\nu}$ converges throughout $D$ to $f(z)$, uniformly on any compact subset of $D$.

Contexte

Robert de Montessus en 1900 étudie les mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris tout en enseignant les « Mathématiques Élémentaires » au collège des Maristes de Senlis, ville se situant à cinquante kilomètres au nord de la capitale [9]. Il est donc immergé dans un environnement scientifique de tout premier ordre, en contact avec des mathématiciens réputés. Il fait d’ailleurs déjà partie de la communauté mathématique française puisqu’en 1898 il devient membre de la Société Mathématique de France, parrainé par Charles-Ange Laisant (1841-1920) et Maurice d’Ocagne (1862-1938). Une occasion importante pour entrer en contact avec des mathématiciens de différents horizons se présente : le deuxième Congrès International des Mathématiciens a lieu à Paris en août 1900. Robert de Montessus participe au congrès et il est fort probable qu’il y ait rencontré Henri Padé [10]. Le 24 Octobre 1901 Robert de Montessus obtient la licence ès-sciences et Paul Appell lui propose de travailler sur la question de la convergence des fractions continues algébriques [11]. En 1897, Robert de Montessus fait la connaissance de celui qui sera son plus grand ami, Robert d’Adhémar (1874-1941) [12].

Robert d’Adhémar

Robert d’Adhémar et Robert de Montessus en 1905 à l’Université Catholique de Lille

En 1902, Emile Borel publie ses Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de France. Ces leçons ont été « recueillies et rédigées » par Robert d’Adhémar. De plus en 1901 paraît la première édition du célèbre ouvrage de Borel, Leçons sur les séries divergentes dans lequel il est question de prolongement analytique et fractions continues algébriques (Henri Padé est cité). Nul doute que Robert de Montessus a étudié ces deux ouvrages.

Laguerre, Poincaré

Edmond Laguerre (1834-1886) est tout d’abord connu pour les polynômes orthogonaux qui portent son nom. Malgré une vie courte et des problèmes de santé, il a beaucoup publié (150 articles). Henri Poincaré (1854-1912) écrit dans la préface des Œuvres complètes de Laguerre (volume 1, 1898) :

L’étude des fractions continues algébriques nous permettra sans doute un jour de représenter les fonctions par des développements beaucoup plus convergents que les séries de puissances ; mais peu de géomètres n’ont osé s’aventurer dans ce domaine inconnu qui nous réserve bien des surprises ; Laguerre y fut conduit par ses recherches sur les polynômes qui satisfont une équation différentielle linéaire. De tous les résultats qu’il obtint, je ne veux qu’en citer un, parce que c’est le plus surprenant et le plus suggestif. D’une série divergente, on peut en déduire une fraction continue convergente : c’est là un nouveau mode d’emploi légitime des séries divergentes qui est sans doute destiné à un grand avenir.

Dans le même ouvrage, on trouve notamment deux articles intitulés « Sur la réduction en fractions continues d’une fonction qui satisfait à une équation linéaire du premier ordre à coefficients rationnels », travaux qui seront prolongés par Robert de Montessus. Si Henri Poincaré souligne l’importance que revêt l’étude des fractions continues algébriques en cette fin du XIXe siècle, c’est que lui-même s’intéresse à la question. Tout d’abord il publie des articles sur les fractions continues et les utilise dans la résolution d’équations différentielles. De plus, la question de la sommation d’une série divergente est très présente dans les travaux de Poincaré : c’est le cas par exemple dans le tome 2 des Méthodes nouvelles de la mécanique céleste paru en 1892.

C’est dans une lettre de Henri Padé que l’on trouve les premiers signes de la « naissance » du théorème de Robert de Montessus. La lettre est datée du 26 Novembre 1901 :

[...] J’ai d’ailleurs vu M. Appell au commencement de ce mois, il m’a parlé de vous et m’avait fait parvenir votre lettre.

La théorie des fractions continues offre un champ très vaste de recherches, mais où il n’est pas toujours facile de se rendre compte à l’avance des difficultés que l’on rencontrera. C’est donc avec toutes sortes de réserves que je vous indiquerai, comme devant présenter un grand intérêt, une étude approfondie de la généralisation des fractions continues. Je n’ai fait qu’effleurer le sujet dans un mémoire qui a paru, il y a quelques années dans le journal de M. Jordan, que je me fais un plaisir de vous envoyer en même temps que cette lettre. Vous y trouverez l’indication d’un mémoire de M. Hermite, sur le même sujet. Dans ce mémoire, M. Hermite arrive à la méthode des polynômes associés par des considérations [...] de calcul intégral : il serait, sans doute, aussi bien intéressant d’approfondir davantage le rapport entre le calcul intégral et les lois de récurrence de la théorie des fractions continues.

Le résultat que vous m’annoncez avoir obtenu me paraît des plus remarquables, mais doit être soumis à des exceptions assez nombreuses. Je lirai avec plaisir votre démonstration quand vous l’aurez publiée.
[...]

Lettre de Henri Padé (fonds Robert de Montessus, UPMC)

Quelques jours après ce courrier, le 3 Décembre 1901, Paul Appell écrit à Robert de Montessus :

Vos résultats me semblent intéressants et je suis d’avis que vous les indiquiez [...] dans une note à la Société Mathématique [...]

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Lettre de Paul Appell (fonds Robert de Montessus, UPMC)
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Dans le même temps, Robert de Montessus correspond avec Eugène Fabry (1856-1944) dont les travaux sur les séries de Taylor font référence. Fabry adresse deux lettres à Robert de Montessus les 12 Octobre 1901 et 7 Janvier 1902.

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Eugène Fabry

Eugène Fabry

Eugène Fabry est professeur à l’Université de Montpellier. Il publie notamment
en 1896 dans les Annales scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, l’article intitulé Sur les points singuliers d’une fonction donnée par son développement en série et l’impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux. L’importance des travaux de Fabry est décrite par Emile Borel dans la notice nécrologique sur Eugène Fabry, lue à l’Académie des Sciences pendant la séance du 23 Octobre 1944 (Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, 1944, Bibliothèque Nationale de France). En effet, elle donne un panorama complet des recherches de Fabry. En particulier, Emile Borel écrit :

Eugène Fabry consacra ensuite ses recherches à un problème important et difficile, déjà abordé avant lui par de nombreux mathématiciens, notamment par notre éminent confrère Jacques Hadamard. Il s’agit de chercher et d’étudier les points singuliers situés sur le cercle de convergence d’un développement de Taylor, qui définit une fonction analytique à l’intérieur du cercle. L’idée originale de Fabry fut de substituer à l’étude de la suite complète des coefficients de la série de Taylor, celle de suites partielles de coefficients extraites de cette suite complète.

Les deux lettres de Fabry, en réponse à Robert de Montessus, portent justement sur les séries de Taylor et leurs singularités :

(lettre du 12 Octobre 1901)

Le théorème que vous m’indiquez ne peut pas être exact sous la forme la plus générale. Il est possible que le second énoncé soit exact mais le premier ne l’est pas. Si la série n’a qu’un point singulier sur la circonférence de convergence, on ne peut affirmer que $\frac{s_{n}}{s_{n+1}}$ ait une limite. Cela résulte des théorèmes que j’ai indiqués dans les Acta Math (Tome 22, page 86). J’ai en effet montré qu’il existe des séries incomplètes n’ayant qu’un seul point singulier sur la circonférence de convergence. $\frac{s_{n}}{s_{n+1}}$ a alors des valeurs nulles et infinies, et ne peut avoir aucune limite. L’exemple que j’ai donné est le suivant :
\[ \sum x^{n}e^{n\left\lbrack -1+\cos(L n)^{\theta}\right\rbrack}\quad 0<\theta<1 \]
[...]

En résumé, je ne peux pas vous donner de réponse absolument précise sur l’exactitude du théorème que vous énoncez ; mais je ne serais pas étonné qu’il soit exact en prenant le second énoncé.

Cette question me parait très intéressante et doit conduire à des résultats importants.

puis

(lettre du 7 Janvier 1902)

[...]
Si vous voulez avoir une idée des travaux publiés sur la série de Taylor, vous pourrez trouver des renseignements très complets dans un petit traité publié par M. Hadamard au mois de mai dernier sur « la série de Taylor et son prolongement analytique » dans la collection Scienta (...).

Cette seconde lettre de Fabry éclaire la première. Fabry donne à Robert de Montessus comme nouvelle référence le livre de Hadamard. En effet, Hadamard s’intéresse aux singularités d’une fonction développable en série entière à l’origine, de développement
$ a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}+\cdots $
ayant pour rayon $R$ et pour cercle de convergence $C$.

singularités sur le cercle

Hadamard considère, comme l’avait fait Lecornu [13], le rapport $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$ et précise page 19 :

En effet, d’une part, comme nous l’avons dit, $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$ n’a pas, en général, de limite. D’autre part, il peut y avoir plusieurs singularités sur $C$. Dès lors on peut supposer à la proposition en question trois sens différents :

  1. Si $x_{0}$ est le seul point singulier sur $C$, le rapport $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$ a pour limite $x_{0}$.
  2. Si $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$ a une limite $x_{0}$, le point d’affixe $x_{0}$ est le seul point singulier de la fonction sur $C$.
  3. Si $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$ a une limite $x_{0}$, le point d’affixe $x_{0}$ est un point singulier de la fonction.

Jacques Hadamard montre que les deux premières affirmations sont fausses contrairement à la troisième qui a été prouvée par Fabry.

Reconnaissance des travaux de Montessus...

À l’automne 1902, Robert de Montessus est chargé de cours à l’Université Catholique de Lille [14]. En 1903 il est nommé Maître de conférences et chargé des cours de Mathématiques spéciales et mécanique rationnelle.

Le 8 Mai 1905, Robert de Montessus soutient sa thèse devant un jury composé de Paul Appell (président), Henri Poincaré et Edouard Goursat (1856-1936). La thèse de Robert de Montessus est publiée la même année dans les Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo. Ses recherches sur les Fractions Continues Algébriques sont récompensées en 1906 par un Grand Prix de l’Académie des Sciences Mathématiques, d’une valeur de 3 000 francs partagé, avec Henri Padé et André Auric (1866-1943) [15].

Grand prix de l’Académie des Sciences 1906 (fonds Robert de Montessus, UPMC)

En 1909, Robert de Montessus écrit son dernier article sur les fractions continues algébriques. L’article est publié dans la revue de Mittag-Leffler (1846-1927), Acta Mathematica Montessus (de)-1909.

Le théorème de Robert de Montessus est rapidement cité. En 1903, E.B. Van Vleck (1863-1943) dans une série de conférences données à Boston mentionne le résultat de Robert de Montessus et annonce une généralisation.

Boston 1903

Van Vleck écrit dans Padé’s Table of Approximants and its Applications (Van Vleck-1905)

In investigating the convergence of the horizontal lines the first
case to be considered is naturally that of a function having a number
of poles and no other singularities within a prescribed distance of
the origin. It is just this case that Montessus [33, a] has examined very recently. Some of you may recall that four years ago in
the Cambridge colloquium Professor Osgood took Hadamard’s
thesis as the basis of one of his lectures. This notable thesis is
devoted chiefly to series defining functions with polar singularities.
Montessus builds upon this thesis and applies it to a table possessing a normal character. Although his proof is subject to this
limitation, his conclusion is nevertheless valid when the table is
not normal, as I shall show in some subsequent paper.

En 1910, Niels E. Nörlund (1885-1981) écrit à Robert de Montessus :

Les « Rendiconti di Palermo » ne se trouvent à aucune bibliothèque publique de Copenhague, mais j’ai obtenu aujourd’hui vos thèses.

Je suis heureux maintenant de pouvoir citer votre mémoire en reconnaissant votre priorité. Le mémoire [16] dont j’ai eu l’honneur de vous envoyer un tirage à part, ne paraîtra que dans le tome 34 des Acta Mathematica en 1911 [...]

Lettre de N.E. Nörlund (fonds Robert de Montessus, UPMC)

En 1913, Oskar Perron (1880-1975) dans son célèbre livre sur les fractions continues Die Lehre von den Kettenbruchen (Druck und Verlag von B.G. Teubner) [17] cite le théorème de Robert de Montessus.

Après la Première Guerre mondiale le théorème de Robert de Montessus est de nouveau cité par plusieurs auteurs anglais ou américains comme Rowland Wilson (1895-1980) [18] et Joseph Leonard Walsh (1895-1973) [19] qui aura, sur ce sujet, un rôle de relai au cours du temps. Un des derniers élèves de Walsh est notamment E.B. Saff.

Conclusion

Cette œuvre de « jeunesse » aura finalement permis à Robert de Montessus d’avoir une reconnaissance durable dans le monde des mathématiques. Mais Robert de Montessus a su aussi s’ouvrir à d’autres domaines des mathématiques (Géométrie Algébrique et Statistique) et à d’autres domaines professionnels (l’édition), avec succès. S’il n’a pas fait carrière dans l’université publique, mais dans une université catholique puis à l’Office National de Météorologie, il a toujours eu des contacts avec des universitaires réputés. Son « cher maître », c’est comme cela qu’il appelait Paul Appell, l’a toujours soutenu. Sa correspondance scientifique témoigne elle aussi de son énergie et de son ouverture. Robert de Montessus était un véritable savant dans toute l’acceptation du terme, curieux de son époque. Il publie par exemple en 1908 Le radium (Bloud & Cie), puis en 1910 L’aviation : Hier, aujourd’hui et demain (Dunod) et dépose même un brevet d’invention en 1923 pour un marteau à manche élastique !

Références

[Bosuwan-2016] Bosuwan, N., On Montessus de Ballore’s theorem for nonlinear Padé-orthogonal approximants. Jaen J. Approx. 8 (2016), no. 2, 151–173.

[Brezinski-1991] Brezinski C., History of continued fractions and Padé approximants, Springer Verlag, Berlin, 1991.

[GGT-2013] Gonnet, P. ; Güttel, S. ; Trefethen, L. N.,
Robust Padé approximation via SVD. SIAM Rev. 55 (2013), no. 1, 101–117.

[Hadamard-1892] Hadamard J., Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor, JMPA, 8, pp 101-186, 1892.

[Hadamard-1901] Hadamard J., La série de Taylor et son prolongement analytique, Scienta Phys. Math., 12, 1901.

[LFM-2011] Le Ferrand H. et M., Deux frères scientifiques de renom : Fernand et Robert de Montessus de Ballore, Bulletin de la Sabix, 2011. télécharger l’article

[Lubinsky-2014] Lubinsky, D. S., Reflections on the Baker-Gammel-Wills (Padé) conjecture. Analytic number theory, approximation theory, and special functions, 561–571, Springer, New York, 2014.

[Matiyasevich-2016] Matiyasevich, Y., The Riemann Hypothesis and eigenvalues of related Hankel matrices. I titre en anglais), Sovremennye Problemy Matematiki 2016.

[Montessus (de)-1902] Montessus (de) de Ballore R., Sur les fractions continues algébriques, Bulletin de la SMF, tome 30 (1902), p 28-36.

[Montessus (de)-1909] Montessus (de) de Ballore R., Sur les fractions continues algébriques, Acta Mathematica, 32 (1909), pp 257-281.

[Padé-1892] Padé H., Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles, Gauthier-Villars, Paris 1892.

[Poirier-2015] Poirier J.-P., Fernand de Montessus de Ballore (1851-1923), Pionnier français de la science des tremblements de terre, Hermann, 2015.

[RR-2015] Rumpler, R. ; Göransson, P., A fast frequency sweep approach with a priori choice of padé approximants and control of their interval of convergence, Proceedings of the 6th International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering, CIMNE , 2015, 881-892

[Saff-1972] Saff E.B., An extension of Montessus de Ballore’s theorem on the convergence of interpolating rational functions, Journal of Approximation Theory, vol 6, No. 1, July 1972.

[SS-2006] Skorokhodov, S.L. & Khristoforov, D.V., Calculation of the branch points of the eigenfunctions corresponding to wave spheroidal functions, Comput. Math. and Math. Phys. (2006) 46 : 1132.

[Van Vleck-1905] Van Vleck E.B., Selected topics in the theory of divergent series and of continued fractions., in Lectures on mathematics
delivered from September 2 to 5, 1903, before members of the American Mathematical Society in connexion with the summer meeting held at the MIT Boston, mass., published for the American Mathematical Society by the Macmillan company London, 1905.

Post-scriptum :

Je remercie Julien Keller pour l’accueil fait à cet article et pour tous les échanges que nous avons eus sur le texte. Mes remerciements vont aussi à Nathalie Cartier et Angela Gammella pour leur relecture et leurs commentaires. Merci aussi à toute l’équipe d’Images des Mathématiques pour la mise en ligne de l’article.

Article édité par Julien Keller

Notes

[3Lien vers cette revue : L’Enseignement Mathématique

[4Paul Appell devient doyen de la faculté des Sciences de Paris en 1903.

[5Le résultat se trouve dans Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, Académie des Sciences de Berlin, 1768. H. Lambert utilise d’ailleurs le développement de $\tan$ pour montrer l’irrationalité de $\pi$.

[6Les numéros des lignes correspondent aux degrés des dénominateurs, ceux des colonnes aux degrés des numérateurs.

[7Ce résultat se trouve dans l’étude systématique que Padé a faite de ces approximants dans sa thèse (1892). Les réduites de la fraction continue de la fonction $exp$ donnée plus haut sont des approximants de Padé de la fonction exponentielle, $\left\lbrack n/n\right\rbrack$ ou $\left\lbrack n+1/n\right\rbrack$.

[8Ce mémoire est lu le 18 Juillet 1776 à l’Académie royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin.

[9Senlis est reliée à Paris par le chemin de fer, ce qui permet à Robert de Montessus de participer aux cours dispensés à la Sorbonne, d’autant plus qu’il a reçu l’autorisation d’enseigner chez les Maristes de 5h30 à 7h30 du matin.

[10Robert de Montessus a reçu un exemplaire signé de la communication faite par Henri Padé à ce congrès : « Aperçu sur les développements récents de la théorie des fractions continues » (fonds Robert de Montessus, UPMC). Henri Padé est à cette époque professeur à l’Université de Poitiers. Signalons que Paul Appell faisait partie du jury de la thèse de Padé et que Padé a eu Appell comme enseignant.

[11Si on peut citer une œuvre de jeunesse de Paul Appell sur le sujet, « Sur les fractions continues périodiques », Archiv der Mathematik und Physik (1877), c’est plutôt par ses travaux en Analyse, notamment les développements en série de fonctions d’une ou plusieurs variables qu’il a étudiés et utilisés, que Paul Appell aura le plus influencé Robert de Montessus. Dans une « notice sur travaux » rédigée pour sa candidature à l’Académie des Sciences (chez l’éditeur Gauthier-Villars 1892), Paul Appell montre l’importance de ses développements en séries pour des problèmes tels que la théorie du potentiel, les équations différentielles linéaires, l’étude des fonctions hypergéométriques.

[13Lecornu affirma en 1887 dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, que l’existence d’une limite pour le rapport $\displaystyle{\frac{a_{m}}{a_{m+1}}}$, entraînait que cette limite soit l’unique point singulier de la fonction sur $C$.

[14Son ami Robert d’Adhémar (1874-1941) qui est maître de conférence dans cette université, devant enseigner l’analyse, a besoin d’un suppléant pour l’enseignement des Mathématiques Spéciales. Il propose le nom de Robert de Montessus (procès-verbaux des séances de la Faculté des Sciences de l’Université Catholique de Lille pour les années 1886 à 1924).

[15Robert de Montessus reçoit 1 000 francs, Henri Padé 1 500 francs et André Auric 500 francs. La Société des Sciences de Lille décerne à Robert de Montessus un prix de 1 000 francs. André Auric était ingénieur en chef des Ponts et Chaussées et a soutenu une thèse en Mathématiques en 1893.

[16Il s’agit de Fractions continues et différences réciproques, un mémoire de plus de cent pages.

[17L’ouvrage sera réédité à plusieurs reprises après la Première Guerre mondiale.

[18Il correspond avec Robert de Montessus à plusieurs reprises en 1923.

[19Ce dernier fait référence au théorème dans un ouvrage de l’A.M.S paru en 1935, « Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain »(Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. Vol. XX) puis au cours des années soixante dans une série d’articles. Durant l’année 1920-1921 Joseph Leonard Walsh est à Paris où il travaille avec Paul Montel (1876-1975). Il soutient sa thèse en 1927 sous la direction de Maxime Bôcher (1867-1918). Maxime Bôcher a eu pour directeur de thèse Felix Klein (1849-1925). E.B. Van Vleck soutient lui aussi une thèse en 1893 sous la direction de F. Klein. Van Vleck encadre la thèse de Hubert Stanley Wall (1902-1971) (soutenue en 1927). Hubert Stanley Wall fait à son tour mention du théorème de Robert de Montessus de Ballore en 1939.

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Pour citer cet article :

Hervé Le Ferrand — «1902, un théorème pour la postérité ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Fonds Robert de Montessus, Bilbliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Robert de Montessus de Ballore en 1914 - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Brouillon de Robert de Montessus (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Brouillon de Robert de Montessus (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Lettre de Henri Padé (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Lettre de Paul Appell (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
img_17115 - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Grand prix de l’Académie des Sciences 1906 (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Lettre de N.E. Nörlund (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
Paul Appell (source : Gallica) - Gallica, BNF
Henri Padé - Wikipedia
img_17120 - Joseph Moitessier
Robert d’Adhémar - MacTutor
Robert d’Adhémar et Robert de Montessus en 1905 à l’Université Catholique de Lille - Archives de l’Université Catholique de Lille
Lettre de Emile Borel (fonds Robert de Montessus, UPMC) - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
img_17165 - Fonds Robert de Montessus, Bilbliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie
img_17192 - fonds Robert de Montessus, Bibliothèque MIR, Université Pierre et Marie Curie

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