Figure sans paroles #2.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 2.20

    le 29 septembre 2019 à 17:00, par Hébu

    On se donne un triangle $EFG$, avec les cercles ex-inscrits de centres $J, K, L$. Soient $P, Q, R$ les projetés orthogonaux des centres sur les côtés ($P$ sur $EF$, $Q$ sur $FG$, $R$ sur $GE$).

    Les droites $JP, KQ, LR$ sont concourantes.

    .
    On s’intéresse au triangle $JKL$ ($F$ est sur $JK$, etc.). On va tracer $JP$ et $KQ$, normales aux côtés, se coupant en $B$ et joindre $LB$ qui va couper $EG$ en un point $R'$. On va alors montrer que $R$ et $R'$ sont confondus en calculant l’angle $\widehat{LR'G}$.

    .
    Le calcul des angles du triangle $JKL$ est immédiat, $FJ$, $FK$, etc. étant les bissectrices extérieures. On obtient : $\widehat{JFE}=\widehat{KFG}=90-F/2$ ; $\widehat{JEF}=\widehat{LEG}=90-E/2$ ; $\widehat{KGF}=\widehat{EGL}=90-G/2$.

    Puisque les angles en $P$ et $Q$ sont droits, on voit alors que $\widehat{FJB}=90-\widehat{JFE}=F/2$ ; de même $\widehat{FKB}=F/2$.

    Le triangle $BJK$ est donc isocèle et les segments $BK$ et $BJ$ ont même longueur. On peut donc tracer un cercle, de centre $B$, passant par $J$ et $K$.

    .
    Maintenant, le calcul de l’angle $\widehat{JBK}$ montre qu’il vaut $180-F=2*(90-F/2)$, soit $\widehat{JBK}=2*L$. Le point $L$, qui voit le segment $JK$ sous l’angle $\widehat{JBK}/2$, est sur la circonférence, de sorte que $BL=BK$, les triangles $LBK$ et $LBJ$ sont isocèles, d’où $\widehat{BLG}=\widehat{GKB}=G/2$.

    .
    De sorte que dans le triangle $R'GL$, l’angle en $R'$ est un angle droit : $R$ et $R'$ sont donc confondus.

    Document joint : idm2-20.jpg
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