Figure sans paroles #4.1.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.12

    le 29 mars à 19:13, par Hébu

    Un triangle $ABC$, ses hauteurs $AD$, $BE$, $CF$, se coupant en $H$. On trace $FE$ qui coupe $BC$ en $P$. Soit $M$ le milieu de $BC$.

    Le cercle qui passe par $M, A, P$ coupe $AD$ sur le cercle circonscrit à $ABC$

    .
    Dans le triangle $ABC$ la hauteur $AD$ prolongée coupe le cercle circonscrit en $J$, et on sait que $J$ est le symétrique de $H$ par rapport à $BC$ (résultat connu depuis la figure 4.1.1 ; cela résulte de $B\widehat{HD}=\widehat{BJD}=\widehat{C}$).

    Mais la figure 4.1.11, elle, a montré que $MH$ coupait $AP$ selon un angle droit. C’est donc la hauteur issue de $M$ du triangle $AMP$, et $H$ est également orthocentre de $AMP$. Le point symétrique de $H$ par rapport à $MP$ est donc identique à $J$.

    Document joint : idm4-1-12.jpg
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