Figure sans paroles #4.10.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.10.3

    le 11 septembre à 10:30, par Sidonie

    Notations : Grand triangle ABC avec A sommet de l’angle droit. (AH) hauteur. D centre du cercle inscrit dans ABH. F point de tangence de ce cercle avec (AB), G point de tangence de l’autre cercle avec (AC). P point d’intersection de (FD) et (BC). Q projeté orthogonal de P sur (AC) . b est la mesure de l’angle ABC. Le problème se ramène à prouver que G et Q sont confondus.

    L’égalité entre les bras de tangentes et un système 3x3 montre que AG=(AC + AH - HC) / 2.

    De même BF= (BA + BH - AH) / 2 d’où BF/BA=(1+ cosb - sinb)/2. Ce rapport se projette via le théorème de Thalès sur (BC) puis sur (AC) pour obtenir AQ/AC=(1+ cosb - sinb)/2.
    Ce qui devient AQ=(AC + ACcosb - ACsinb)/2=(AC + AH - AC) / 2=AG

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