Figure sans paroles #4.10.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.10.4

    le 18 septembre à 12:22, par Hébu

    Un triangle $ABC$ rectangle en $A$. On mène les bissectrices intérieures en $B$ et $C$, elles se coupent au point $D$, et coupent $AB$ en $E$ (celle issue de $C$) et $AC$ en $F$ (issue de $B$).

    On joint $E$ et $F$, soit $J$ leur milieu. Alors $JD$ est perpendiculaire à $BC$ ($H$ le point de contact).

    .
    Je complète le dessin de quelques autres segments. Depuis $D$, soient $DK$ la perpendiculaire à $AB$, $DL$ la perpendiculaire à $AC$. Ce sont les points de tangence du cercle, et du fait que l’angle $BAC$ est droit, $DK$ est parallèle à $AC$ et $DL$ à $AB$.

    Depuis $E$ et $F$ menons les tangentes au cercle inscrit. Elles tangentent le cercle en $M$ et $N$ et coupent $BC$ en $E'$ et $F'$.

    L’angle $\widehat{KDM}$ est égal à $\widehat{C}$ ($KD$ parallèle à $AC$, donc $\widehat{KDE}=\widehat{ACE}$, et $\widehat{KDM}=2\times \widehat{KDE}$). Il s’ensuit que $DM$ est parallèle à $BC$ et $EE'$ perpendiculaire à $BC$. Même raisonnement côté $FF'$.

    $EE'F'F$ est donc un trapèze, les côtés parallèles étant $EE'$ et $FF'$. Les points $J$ et $D$ sont les milieux de $EF$ et $MN$, le point $H$ est donc milieu de $E'F'$ et $JH$ est parallèle à $EE'$ — et donc perpendiculaire à $BC$.

    Document joint : idm4-10-4.jpg
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