Figure sans paroles #4.10.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.10.8

    le 16 octobre 2018 à 15:30, par Sidonie

    La richesse de la figure permet d’autres démonstrations. J’en propose une basée sur les similitudes.

    Je complète la figure avec M point d’intersection entre (O’O") et (AB), N intersection entre (HO’) et (AB) , I projeté orthogonal de O’ sur(BC) et je note b l’angle ABC

    Dans une figure précédente j’ai utilisé la similitude de centre H qui transforme BHA en HAC pour démontrer que HO’O" est un triangle semblable à ABC. Dans le triangle MNO’ on a l’angle
    O’ qui vaut b (opposé par le sommet), l’angle N extérieur au triangle NHA vaut PI/4+c= 3PI/4-b, il reste donc PI /4 pour l’angle M. Or la droite (JK) fait justement un angle de PI/4 avec (AB) . Donc (O’O")//(JK).

    Je prends alors la similitude composée de la symétrie d’axe (BO) et l’homothétie de centre B et de rapport BH/BA. Elle transforme BCA en BAH , le grand cercle en l’autre, le point de tangence J en point de tangence I avec l’égalité de rapport BJ/BA=BI/BH . La réciproque du théorème de Thalès prouve que (IJ) //(AH) or (O’I)//(AH) donc O’,I et J sont alignés. La même démonstration du côté C finit la démonstration.

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