Figure sans paroles #4.11.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.11.9

    le 17 décembre 2018 à 17:29, par Sidonie

    L’angle de 45° transforme les triangles rectangles en isocèles. Les pieds des hauteurs appartiennent aux médiatrices de même que le centre du cercles circonscrit. Le parallélisme médiatrices et hauteurs donne un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu.

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    • 4.11.9

      le 17 décembre 2018 à 21:27, par Hébu

      Et lycée de Versailles, évidemment.

      .
      Comme j’ai du mal à avoir une formulation aussi synthétique, je suis forcé de nommer points et angles.

      .
      Alors j’appelle $A$ le sommet dont l’angle est maintenant inconnu, $B$ et $C$ les deux autres sommets du triangle, et $BE$ et $CF$ les hauteurs, qui se coupent en $H$.

      $O$ est encore le centre du cercle circonscrit, et l’énigme devient « si $FE$ et $OH$ se coupent en leur milieu, alors l’angle en $A$ vaut 45° ».

      .
      Mais si $FE$ et $OH$ se coupent en leur milieu, c’est que $FHEO$ est un parallélogramme, donc FH//OE, et FO//HE.

      Donc $OE$ est perpendiculaire à $AB$, $E$ est sur la médiatrice de $AB$, $AEB$ est un triangle rectangle isocèle, et l’angle en $A$ vaut 45°.

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