Figure sans paroles #4.12.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.1

    le 26 décembre 2018 à 12:33, par Sidonie

    Bien désolée de ne pas trouver de méthode purement géométrique, je me suis rabattue sur un repère orthogonal d’origine H pied de la hauteur AH, de vecteurs de base HC et HA , A,B et C étant les sommets du triangle (sens positif). M est un point de la hauteur.

    En résumé H(0,0), C(1,0), A(0,1), B(b,0), M(0,m).

    E(b(1(-m)/(b-m),m(b-1)/(b-m)) est le point d’intersection entre (AC) et (BM) ,G(b(1(-m)/(b-m),m(1-b)/(b-m)) est son symétrique par rapport à AH.

    F(b(1(-m)/(1-mb),m(1-b)/(1-mb)) est le point d’intersection entre (AB) et (CM).

    Les points G et F sont alignés avec l’origine H donc les droites HF et HE sont symétriques par rapport à AH.

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    • 4.12.1

      le 26 décembre 2018 à 18:08, par Hébu

      Oui, navrant de ne pas avoir une jolie solution géométrique. J’ai refait le raisonnement, en supposant que le point C n’était pas (0,1), mais (0,c) (sinon, le triangle aurait eu AH=HC) — mais ce n’est qu’un détail, qui ne change pas le résultat !
      .

      Je suis certain qu’on va finir par trouver une réponse géométrique ! (avant l’an prochain...)

      Document joint : 4121.jpg
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  • 4.12.1

    le 27 décembre 2018 à 11:09, par Hébu

    Les trois segments, concourant en $M$, font penser à Céva. En furetant sur le web, je suis tombé sur un exo, donné comme application de Céva.

    On trace par $A$ une parallèle à $BC$, que $HF$ coupe en $P$ et $HE$ en $Q$. Et, grâce à Céva, on montre que $AP$ et $AQ$ ont même longueur.
    .

    En effet, $AP/BH=FA/FB$, et $AQ/HC=AE/EC$. D’où découle que $AP/AQ=(BH/HC).(FA/FB).(EC/AE)=1$

    .

    Et on en tire même une cns ! L’égalité de $AQ$ et $AP$, qui résulte de Céva, est valide quelle que soit la position de $H$ sur $BC$. Mais ce n’est que si (et seulement si) $AH$ est la hauteur qu’on peut en déduire l’égalité des angles !

    Jolie démonstration, sur laquelle je n’ai aucun mérite...

    Document joint : 4121-ceva.jpg
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    • 4.12.1

      le 27 décembre 2018 à 16:40, par Sidonie

      En effet , joli. J’étais partie sur une autre piste qui devient un résultat prouvé : la médiatrice de EF coupe AH et BC en 2 points diamétralement opposés sur le cercle passant par H, E et F. J’en profite pour vous faire remarquer que dans mon premier texte, outre les parenthèses superflues, le repère est orthogonal et non orthonormal. J’avais donc le droit de poser C(1,0).

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      • 4.12.1

        le 28 décembre 2018 à 10:44, par Hébu

        Oui, ma remarque sur C(0,1) souligne l’etendue de mes lacunes dans ce domaine...

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