Figure sans paroles #4.12.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.10

    le 27 février à 14:54, par Hébu

    Image étonnante cette semaine. Difficile à appréhender en tout cas. On peut la décrire comme ceci :

    .
    Du point $A$, on mène deux couples de segments perpendiculaires, $AB$-$AB$, $CAB=\pi/2$ et $AD$-$AE$, $DAE=\pi/2$.

    $BD$ et $CE$ se coupent en $H$, $CD$ et $BE$ en $F$.

    Alors $AH$ et $AF$ sont orthogonaux.

    .

    Et puis, on peut voir deux triangles rectangles, $ABC$ et $ADE$. Et on imagine alors les cercles circonscrits à ces deux triangles ; ils ont les centres $O_1$ et $O_2$ sur les milieux de $CB$ et $DE$. La droite $O_1O_2$ passe par $O_3$, le cercle circonscrit à $AHF$ (on le découvre, il faudra argumenter).

    Les trois cercles ont même axe radical — autre façon de le dire.

    .

    Et puis encore une autre vision, en dépouillant de plus en plus.

    Quatre points $B, C, D, E$ dans le plan. $BD$ et $CE$ se coupent en $H$, $BE$ et $CD$ se coupent en $F$

    Les cercles ayant comme diamètres $BC$, $DE$ et $FH$ ont même axe radical.
    Les points de croisement des trois cercles sont les deux positions possibles des points $A$ dans les interprétations précédentes.

    .

    Alors, qu’en déduit-on ? Où cela conduit ? Que se passe-t-il s’il n’y a qu’un point commun aux cercles ? Ou aucun ?

    .

    Document joint : idm4-12-10-1.ggb
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    • 4.12.10

      le 1er mars à 11:01, par Hébu

      On peut aussi se poser la question — si les deux cercles centre $O_1$ et $O_2$ ne se coupent pas ?

      Dans ce cas, les points $A$ n’existent plus.

      Mais on peut toujours tracer $BD, BE$, etc., les points $F$ et $H$. On constate que leur milieu se trouve toujours sur la droite des centres, et que les cercles de centres $O_1, O_2, O_3$ ont même axe radical.
      (on le vérifie facilement avec Geogebra).

      .
      Tout cela doit pouvoir se mettre en équation — faute d’une belle preuve géométrique.

      Et cela constitue la version la plus « épurée » du problème !

      Document joint : idm4-12-10-2.ggb
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