Figure sans paroles #4.12.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.10

    le 27 février 2019 à 14:54, par Hébu

    Image étonnante cette semaine. Difficile à appréhender en tout cas. On peut la décrire comme ceci :

    .
    Du point $A$, on mène deux couples de segments perpendiculaires, $AB$-$AB$, $CAB=\pi/2$ et $AD$-$AE$, $DAE=\pi/2$.

    $BD$ et $CE$ se coupent en $H$, $CD$ et $BE$ en $F$.

    Alors $AH$ et $AF$ sont orthogonaux.

    .

    Et puis, on peut voir deux triangles rectangles, $ABC$ et $ADE$. Et on imagine alors les cercles circonscrits à ces deux triangles ; ils ont les centres $O_1$ et $O_2$ sur les milieux de $CB$ et $DE$. La droite $O_1O_2$ passe par $O_3$, le cercle circonscrit à $AHF$ (on le découvre, il faudra argumenter).

    Les trois cercles ont même axe radical — autre façon de le dire.

    .

    Et puis encore une autre vision, en dépouillant de plus en plus.

    Quatre points $B, C, D, E$ dans le plan. $BD$ et $CE$ se coupent en $H$, $BE$ et $CD$ se coupent en $F$

    Les cercles ayant comme diamètres $BC$, $DE$ et $FH$ ont même axe radical.
    Les points de croisement des trois cercles sont les deux positions possibles des points $A$ dans les interprétations précédentes.

    .

    Alors, qu’en déduit-on ? Où cela conduit ? Que se passe-t-il s’il n’y a qu’un point commun aux cercles ? Ou aucun ?

    .

    Document joint : idm4-12-10-1.ggb
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    • 4.12.10

      le 1er mars 2019 à 11:01, par Hébu

      On peut aussi se poser la question — si les deux cercles centre $O_1$ et $O_2$ ne se coupent pas ?

      Dans ce cas, les points $A$ n’existent plus.

      Mais on peut toujours tracer $BD, BE$, etc., les points $F$ et $H$. On constate que leur milieu se trouve toujours sur la droite des centres, et que les cercles de centres $O_1, O_2, O_3$ ont même axe radical.
      (on le vérifie facilement avec Geogebra).

      .
      Tout cela doit pouvoir se mettre en équation — faute d’une belle preuve géométrique.

      Et cela constitue la version la plus « épurée » du problème !

      Document joint : idm4-12-10-2.ggb
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      • 4.12.10

        le 24 mars à 17:51, par Hébu

        Une proposition de solution (aventureuse)
        .

        Un quadrilatère $BCDE$, deux cercles ayant pour diamètres $BC$ et $DE$. Les deux cercles doivent être sécants (ou tangents).

        On prolonge $BC$ et $ED$, puis $BE$ et $CD$, se coupant en $G$ et $F$.
        $BD$ et $CE$ se coupent au point $H$. On obtient un quadrilatère complet.

        Appelons $R, S, T$ les milieux de $BC$, $DE$ et $FH$.
        .

        Première observation, $R, S, T$ sont alignés.

        Il y a un théorème qui dit que les milieux des diagonales d’un quadrilatère complet sont alignées. Peut-on voir un quadrilatère complet dont $BC, DE, FH$ seraient les diagonales ?

        .
        Par exemple, quatre droites $(BD)$, $(CE)$, $(BF)$ et $(CF)$ forment un « QC croisé », dont les sommets sont $B, C, D, E, F, H$ ($F$ concours de$BF$ et $CF$, $H$ concours de $CE$ et $BD$). Les diagonales en sont $BC$, $DE$ et $FH$.

        .
        En réalité, le théorème dit que les cercles construits sur les diagonales ont même axe radical (et donc se coupent aux mêmes points si ils sont sécants, ce qui est le cas ici). L’alignement des milieux est conséquence directe.

        .
        J’appelle $A$ l’un des points de sécance des trois cercles. Puisque $A$ est sur chacun des cercles, $\widehat{BAC}$ et $\widehat{EAD}$ sont droits : la figure est conforme au dessin original. Et $FH$ étant un diamètre, l’angle $\widehat{FAH}$ est droit également.

        .
        C’est un peu cavalier — l’invention du « QC croisé » — peut-être une preuve plus directe ?

        Document joint : idm4-8-10.jpg
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        • 4.12.10

          le 24 mars à 18:02, par Hébu

          La figure se nomme 4.8.10, elle devrait s’appeler évidemment 4.12.10. Le nom est erroné, la figure est la bonne

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