Figure sans paroles #4.12.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.4

    le 17 janvier à 15:33, par Hébu

    Une idée, qu’il faut « un peu » fignoler, je pense.
    .
    Je rajoute à ma figure les points M et N.

    .
    Considérons le quadrilatère complet $BKCFGA$. Les diagonales $CG$, $FK$ et $AB$ se coupent, formant des divisions harmoniques. Ainsi $CG$ coupe $FK$ et $AB$, les points $C, N, G, J$ formant une division harmonique.

    .
    De sorte que $(FB)$, $(FK)$, $(FA)$, $(FJ)$ forment un faisceau harmonique. Et on peut alors invoquer un théorème, qui affirme que :

    .
    « pour qu’un faisceau soit harmonique, il faut et il suffit qu’une parallèle à l’un des rayons soit divisée en deux parties égales par les trois autres ».

    Donc, la parallèle à $(FB)$ menée de $A$ coupe les droites $(FJ)$ et $(FK)$ en segments égaux, c’est à dire $AE=AD$.

    .
    En fait, je montre là que si $G$ est sur $AF$, alors $EA=ED$. La figure propose une histoire différente, savoir $AE=AD$ $\Rightarrow $ $A, G, F$ alignés.

    .
    Mais le théorème est une cns, on doit donc pouvoir construire une preuve.

    .
    (j’ai retrouvé le théorème dans J. Hadamard , Géométrie élémentaire, vol. 1 (géométrie plane), 2ème édition — paragraphe 201, livre III, chapitre 3)

    Document joint : 4-12-4bis.jpg
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