Figure sans paroles #4.12.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • 4.12.4

    le 17 janvier à 16:59, par Hébu

    Voila une version plus sérieuse (me semble quand même un peu lourd)

    .
    On se donne un triangle $ABC$ ; depuis $A$ une parallèle à $BC$, sur laquelle on porte deux segments $AE$ et $AD$ de même longueur.

    On choisit in point $F$ sur $BC$, et on trace les droites $(FA), (FD)$ et $(FE)$. Le théorème cité au-dessus nous garantit que $(FB), (FA), (FE)$ et $(FD)$ forment un faisceau harmonique.

    Je nomme $K$ l’intersection de $AC$ et $FD$. La droite $(BK)$ divise harmoniquement le faisceau, soient $M$ et $G$ les intersections.

    Maintenant, la droite (AB) coupe elle aussi le faisceau, aux points $J$ et $P$. Les points $(B, J, A, P)$ forment donc une division harmonique.

    Considérons alors le quadrilatère complet $BFCKAG$. Ses diagonales $CG$ et $FK$ divisent harmoniquement la troisième diagonale $AB$, les intersections étant en $P$ et en un point $J'$, forcément confondu avec $J$.

    C’est à dire que $BK$, $CJ$ et $AF$ se coupent au point $G$

    Document joint : 4-12-4ter.png
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