Figure sans paroles #4.12.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.5

    le 21 janvier à 19:33, par Hébu

    Un triangle $ABC$, les bissectrices $AD$, $BF$ et $CE$ se coupant en $I$.

    Les segments $DE$ et $DF$ coupent resp. $BF$ en $H$, et $CE$ en $G$. Il s’agit de montrer l’égalité des angles $\widehat{BAH}$ et $\widehat{CAG}$.

    .

    Tout d’abord, comme dans les figures précédentes, on retrouve une palanquée de quadrilatères complets, donnant naissance à des faisceaux harmoniques.

    Ainsi, $BDCFAI$ : la diagonale $CI$ donne la division harmonique $(C, G, I, E)$ et donc le faisceau harmonique $(AE, AD, AG, AC)$.

    De même, le quadrilatère $BEAIDH$ dont la diagonale $EI$ est coupée en $J$ et $C$, d’où la division $(E, J, I, C)$ et le autre faisceau $(AE, AJ, AI, AC)$

    .

    Depuis le point I, on trace une droite perpendiculaire à AD. Elle coupe AB en L, AH en M, AG en N et AC en K.

    Le triangle ALK, où AI est hauteur et bissectrice, est isocèle : IL=IK

    .

    Maintenant, notre nouvelle droite (politiquement neutre, cependant) coupe les deux faisceaux, de sorte que l’on retrouve deux divisions harmoniques :

    $(L, M, I, K)$ et $(L, I, N, K)$

    .

    Mais puisque $LI$ et $IK$ ont même longueur, une manipulation (simple, mais ennuyeuse à reproduire) des rapports montre que $MI$ et $NI$ ont, eux aussi, même longueur.

    .
    Et donc $AMN$ est, lui aussi, isocèle, $\widehat{MAI}=\widehat{IAN}$, et par différence $\widehat{LAJ}=\widehat{NAK}$.

    Document joint : idm4-12-5.jpg
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    • 4.12.5

      le 23 janvier à 18:34, par Sidonie

      Une panne d’internet m’a empêché d’apprécier votre démonstration, en particulier les faisceaux harmoniques qui m’ont inspiré une autre démonstration.

      Dans un quadrilatère complet, les côtés et les diagonales issus du même sommet forment un faisceau harmonique c’est donc le cas pour AB,AD,AH,AC d’une part et AC,AD,AG,AB d’autre part. La symétrie d’axe AD termine la démonstration. A noter que la position de I sur AD ne joue aucun rôle.

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      • 4.12.5

        le 23 janvier à 21:21, par Hébu

        Je vois bien les deux faisceaux, qui partagent AD et je sens bien qu’un argument de symétrie pourrait arranger les choses.

        Mais, à ma grande honte, je ne comprends pas comment cet argument fonctionne. Mes connaissances en géométrie s’arrêtent assez vite... Faut-il faire intervenir les valeurs des rapports ?

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        • 4.12.5

          le 24 janvier à 00:39, par Sidonie

          Les birapports sont invariants par symétrie. Appelons d la symétrique de (AH) par rapport à (AD)

          [(AB),(AD),(AH),(AC)] devient par symétrie [(AC),(AD),d,(AB)] . Comme on a [(AC),(AD),(AG),(AB)] il vient par unicité (AG) = d

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