Figure sans paroles #4.12.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.12.5

    le 21 janvier à 19:33, par Hébu

    Un triangle $ABC$, les bissectrices $AD$, $BF$ et $CE$ se coupant en $I$.

    Les segments $DE$ et $DF$ coupent resp. $BF$ en $H$, et $CE$ en $G$. Il s’agit de montrer l’égalité des angles $\widehat{BAH}$ et $\widehat{CAG}$.

    .

    Tout d’abord, comme dans les figures précédentes, on retrouve une palanquée de quadrilatères complets, donnant naissance à des faisceaux harmoniques.

    Ainsi, $BDCFAI$ : la diagonale $CI$ donne la division harmonique $(C, G, I, E)$ et donc le faisceau harmonique $(AE, AD, AG, AC)$.

    De même, le quadrilatère $BEAIDH$ dont la diagonale $EI$ est coupée en $J$ et $C$, d’où la division $(E, J, I, C)$ et le autre faisceau $(AE, AJ, AI, AC)$

    .

    Depuis le point I, on trace une droite perpendiculaire à AD. Elle coupe AB en L, AH en M, AG en N et AC en K.

    Le triangle ALK, où AI est hauteur et bissectrice, est isocèle : IL=IK

    .

    Maintenant, notre nouvelle droite (politiquement neutre, cependant) coupe les deux faisceaux, de sorte que l’on retrouve deux divisions harmoniques :

    $(L, M, I, K)$ et $(L, I, N, K)$

    .

    Mais puisque $LI$ et $IK$ ont même longueur, une manipulation (simple, mais ennuyeuse à reproduire) des rapports montre que $MI$ et $NI$ ont, eux aussi, même longueur.

    .
    Et donc $AMN$ est, lui aussi, isocèle, $\widehat{MAI}=\widehat{IAN}$, et par différence $\widehat{LAJ}=\widehat{NAK}$.

    Document joint : idm4-12-5.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?